Home
Giáo dục đào tạo
Tài liệu, đề thi môn Toán
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 9 - Chương 2 Hình Tròn
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 9 - Chương 2 Hình Tròn
CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG TRÒN
CHỦ ĐỀ 1: SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Định nghĩa: Đường tròn tâm
O
bán kính
R 0
là hình gồm
các điểm cách điểm
O
một khoảng
R
kí hiệu là
(O;R)
hay
(O)
+ Đường tròn đi qua các điểm
1 2 n
A ,A ,...,A
gọi là đường tròn
ngoại tiếp đa giác
1 2 n
A A ...A
+ Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác
1 2 n
A A ...A
gọi là đường tròn nội tiếp đa giác đó.
Những tính chất đặc biệt cần nhớ:
+ Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm vòng
tròn ngoại tiếp
+ Trong tam giác đều , tâm vòng tròn ngoại tiếp là trọng
tâm tam giác đó.
+ Trong tam giác thường:
Tâm vòng tròn ngoại tiếp là giao điểm của 3 đường trung
trực của 3 cạnh tam giác đó
Tâm vòng tròn nội tiếp là giao điểm 3 đường phân giác trong
của tam giác đó
PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh các điểm
1 2 n
A ,A ,...,A
cùng
thuộc một đường tròn ta chứng minh các điểm
1 2 n
A ,A ,...,A
cách đều điểm
O
cho trước.
Ví dụ 1) Cho tam giác đều
ABC
có cạnh bằng
a
.
AM,BN,CP
là
các đường trung tuyến. Chứng minh 4 điểm
B,P,N,C
cùng
thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.
Giải:
Vì tam giác
ABC
đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là
đường cao . Suy ra
AM,BN,CP
lần lượt vuông góc với
BC,AC,AB
.
Từ đó ta có các tam giác
BPC,BNC
là tam giác vuông
Với
BC
là cạnh huyền, suy ra
MP MN MB MC
Hay: Các điểm
B,P,N,C
cùng thuộc đường tròn
Đường kính
BC a
, tâm đường tròn là
Trung điểm
M
của
BC
Ví dụ 2) Cho tứ giác
ABCD
có
0
C D 90 .
Gọi
M,N,P,Q
lần lượt
là trung điểm của
AB,BD,DC,CA
. Chứng minh 4 điểm
M,N,P,Q
cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó .
Giải:
P
N
M
C
B
A
O
Q
P
N
M
D
C
B
A
T
Kéo dài
AD,CB
cắt nhau tại điểm
T
thì tam giác
TCD
vuông
tại
T
.
+ Do
MN
là đường trung bình của tam giác
ABD
nên
NM / /AD
+
MQ
là đường trung bình của tam giác
ABC
nên
MQ / /BC
.
Mặt khác
AD BC MN MQ
. Chứng minh tương tự ta cũng
có:
MN NP,NP PQ
. Suy ra
MNPQ
là hình chữ nhật.
Hay các điểm
M,N,P,Q
thuộc một đường tròn có tâm là giao
điểm
O
của hai đường chéo
NQ,MP
Ví dụ 3) Cho tam giác
ABC
cân tại
A
nội tiếp đường tròn
(O)
. Gọi
M
là trung điểm của
AC
G
là trọng tâm của tam giác
ABM
. Gọi
Q
là giao điểm của
BM
và
GO
. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
BGQ
.
Giải:
Vì tam giác
ABC
cân tại
A
nên tâm
O
của vòng tròn ngoại
tiếp tam giác nằm trên đường trung trực của
BC
.Gọi
K
là
giao điểm của
AO
và
BM
Q
I
P
N
O
M
K
G
C
B
A
Dưng các đường trung tuyến
MN,BP
của tam giác
ABM
cắt
nhau tại trọng tâm
G
.Do
MN / /BC MN AO
. Gọi
K
là giao
điểm của
BM
và
AO
thì
K
là trọng tâm của tam giác
ABC
suy ra
GK / /AC
.
Mặt khác ta có
OM AC
suy ra
GK OM
hay
K
là trực tâm
của tam giác
OMG MK OG
. Như vậy tam giác
BQG
vuông
tại
Q
. Do đó tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác
GQB
là trung
điểm
I
của
BG
.
Ví dụ 4). Cho hình thang vuông
ABCD
có
0
A B 90
.
BC 2AD 2a,
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
B
lên
AC
M
là trung điểm của
HC
. Tìm tâm và bán kính đường tròn
ngoại tiếp tam giác
BDM
Giải:
Gọi
N
là trung điểm của
BH
thì
MN
là đường trung bình của
tam giác
HBC
suy ra
MN AB
, mặt khác
BH AM
N
là trực
tâm của tam giác
ABM
suy ra
AN BM
.
Do
1
MN / / BC MN / / AD
2
nên
ADMN
là hình bình hành suy
ra
AN / /DM
. Từ đó ta có:
DM BM
hay tam giác
DBM
vuông
tại
M
nên tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác
DBM
là trung
điểm
O
của
BD
.
Ta có
2 2 2 2
1 1 1 a 5
R MO BD AB AD 4a a
2 2 2 2
.
O
E
N
M
H
D
C
B
A
Bài toán tương tự cho học sinh thử sức.
Cho hình chữ nhật
ABCD
, kẻ
BH
vuông góc với
AC
. Trên
AC,CD
ta lấy các điểm
M,N
sao cho
AM DN
AH DC
. Chứng minh
4
điểm
M,B,C,N
nằm trên một đường tròn.
Gợi ý:
0
BCN 90
, hãy chứng minh
0
BMN 90
Ví dụ 5).Cho lục giác đều
ABCDEF
tâm
O
. Gọi
M,N
là trung
điểm của
CD,DE
.
AM
cắt
BN
tại
I
. Chứng minh rằng các
điểm
M,I,O,N,D
nằm trên một đường tròn.
Giải:
H
1
D
K
1
K
N
O
J
E
B
A
O
I
H
N
M
F
E
D
C
B
A
Do
ABCDEF
là lục giác đều nên
OM CD,ON DE M,N,C,D
nằm trên đường tròn đường kính
OD
. Vì tam giác
OBN OAM
nên điểm
O
cách đều
AM,BN
suy ra
OI
là phân
giác trong của góc
AIN
.
Kẻ
1
1
OH AM DH 2OH
DH AM
(Do
OH
là đường trung bình của
tam giác
1
DAH
Kẻ
1
1
OK BN DK 2OK
DK BN
(Do
1
OK JO 1
DK JD 2
với
J AD NB
)
Do
1 1
OK OH DH DK
suy ra
D
cách đều
AM,BN
hay
ID
là
phân giác ngoài của
0
AIN OID 90
. Vậy 5 điểm
M,I,O,N,D
cùng nằm trên một đường tròn đường kính
OD
.
Ví dụ 6) Cho hình vuông
ABCD
. Gọi
M
là trung điểm
BC,N
là
điểm thuộc đường chéo
AC
sao cho
1
AN AC
4
. Chứng minh 4
điểm
M,N,C,D
nằm trên cùng một đường tròn.
Giải:
Ta thấy tứ giác
MCDN
có
0
MCD 90
nên để chứng minh 4
điểm
M,N,C,D
cùng nằm trên một đường tròn ta sẽ chứng
minh
0
MND 90
Cách 1: Kẻ đường thẳng qua
N
song song với
AB
cắt
BC,AD
tại
E,F
. Xét hai tam giác vuông
NEM
và
DFN
1 1
EM NF AB,EN DF AB
4 4
từ đó suy ra
NEM DFN
do đó
0
NME DNF,MNE NDF MNE DNF 90
Hay tam giác
MND
vuông tại
N
. Suy ra 4 điểm
M,N,C,D
cùng nằm trên đường
tròn đường kính
MD
Cách 2: Gọi
K
là trung điểm của
ID
với
I
là giao điểm của
hai đường chéo. Dễ thấy
MCKN
là hình bình hành nên suy ra
CK / /MN
. Mặt khác do
NK CD,DK CN K
là trực tâm của
tam giác
CDN
CK ND MN ND
.
K
F
E
I
N
M
D
C
B
A
có thể bạn quan tâm
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 9 - Chương 3: Góc với đường...
22
1.121
350
Tài liệu, đề thi môn Toán
22
(New)
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 9 - Những định lý hình học...
39
1.147
433
Tài liệu, đề thi môn Toán
39
(New)
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 9 - Một số bài tập chọn lọc...
43
856
311
Tài liệu, đề thi môn Toán
43
(New)
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 9 - Hệ thức lượng trong tam...
55
992
323
Tài liệu, đề thi môn Toán
55
(New)
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 9 - Một số tiêu chuẩn nhận...
18
1.000
335
Tài liệu, đề thi môn Toán
18
(New)
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 9 - Chùm bài tập về tiếp tu...
11
2.905
490
Tài liệu, đề thi môn Toán
11
(New)
TOÁN LỚP 1 : NHẬN DẠNG HÌNH VUÔNG HÌNH TRÒN
3
1.016
340
Giáo án, bài giảng lớp 12
3
(New)
Nghiên cứu Kỹ thuật Render Volume trong hiển thị hình ảnh 3D từ hình c...
25
1.180
451
Kỹ thuật
25
(New)
thông tin tài liệu
Chương 2 Hình Tròn bao gồm định nghĩa, tính chất và các ví dụ minh họa cụ thể về hình tròn
Mở rộng để xem thêm
tài liệu mới trong mục này
Giải bài tập trang 144 SGK Hóa lớp 9: Mối liên hệ giữa etilen, rượu etylic và axit axetic
Giải bài tập Hóa lớp 9: Rượu etylic
Giải bài tập Hóa lớp 9: Khái niệm về hợp chất hữu cơ và hoá học hữu cơ
Tóm tắt lý thuyết Toán lớp 5: Giải toán về tỉ số phần trăm. Tìm giá trị phần trăm một số
Tóm tắt lý thuyết Toán lớp 5: Giải toán về tỉ số phần trăm. Tìm tỉ số phần trăm của hai số
tài liệu hot trong mục này
Ôn tập kiến thức môn Toán lớp 2 chuyên đề: Phép cộng có nhớ
Bộ đề thi giữa học kì 1 môn Toán lớp 2 theo Thông tư 22
Một số dạng bài tập về Phép cộng, trừ các số nguyên trong chương trình Toán lớp 6
Bài tập ôn tập cuối tuần lớp 2: Tuần 21
Lý thuyết và một số dạng bài tập về Lũy thừa với số mũ tự nhiên và các phép toán (Toán lớp 6)
tài liệu giúp tôi
Nếu bạn không tìm thấy tài liệu mình cần có thể gửi yêu cầu ở đây để chúng tôi tìm giúp bạn!
×
