DANH MỤC TÀI LIỆU
Luận văn - báo cáo
Thạc sĩ cao học
Kinh tế quản lý
Khoa học tự nhiên
Kinh tế - Thương mại
Lý luận chính trị
Kỹ thuật
Báo cáo, luận văn khác
Kỹ năng mềm
Nghệ thuật sống
Kỹ năng giao tiếp
Kỹ năng thuyết trình
Kỹ năng phỏng vấn
Kỹ năng đàm phán
Kỹ năng mềm khác
Mẫu slide
Mẫu slide cho thuyết trình
Mẫu slide cho giáo án điện tử
Mẫu slide khác
Mẫu slide - Template
Kinh doanh - tiếp thị
Marketing, bán hàng
PR truyền thông
Kế hoạch kinh doanh
Tài liệu kinh doanh, tiếp thị khác
Thương mại điện tử
Kinh tế - Quản lý
Bài giảng, giáo trình
Đề thi, bài tập
Sách kinh tế hay
Quản lý nhà nước
Quy hoạch đô thị
Tài liệu kinh tế khác
Tài chính - Ngân hàng
Tài chính doanh nghiệp
Kế toán, kiểm toán
Ngân hàng - tín dụng
Tài liệu tài chính - ngân hàng khác
Biểu mẫu - Văn bản
Mẫu hợp đồng
Mẫu đơn từ
Biểu mẫu, văn bản khác
Thủ tục hành chính
Giáo dục đào tạo
Tài liệu, đề thi môn Toán
Tài liệu, đề thi môn Ngữ Văn
Tài liệu, đề thi THPT các trường
Tài liệu, đề thi Vật Lý
Tài liệu, đề thi Sinh Học
Tài liệu, đề thi Hóa Học
Tài liệu, đề thi Lịch Sử
Tài liệu, đề thi học sinh giỏi
Tài liệu, đề thi khác
Giải bài tập các môn
Giáo án bài giảng
Giáo án, bài giảng lớp 6
Giáo án, bài giảng lớp 7
Giáo án, bài giảng lớp 8
Giáo án, bài giảng lớp 9
Giáo án, bài giảng lớp 10
Giáo án, bài giảng lớp 11
Giáo án, bài giảng lớp 12
Giáo án, bài giảng tiểu học
Giáo án, bài giảng khác
Công nghệ thông tin
Cơ sở dữ liệu
Lập trình
Đồ họa, thiết kế
An ninh, bảo mật
Tài liệu CNTT khác
Văn bản pháp luật
Thuế - Lệ phí - Kinh phí
Giáo dục - Đào tạo
Nghị định
Quyết định
Thông tư
Luật - pháp lệnh
Văn bản pháp luật khác
Học tiếng Anh
Luyện Thi TOEIC
Luyện thi IELTS
Tiếng Anh phổ thông
Tiếng Anh trẻ em
Luyện thi TOEFL
Tài liệu học tiếng Anh khác
Y học- sức khỏe
Sống khỏe
Bí quyết làm đẹp
Bệnh thường gặp
Dinh dưỡng
Mẹ và bé
Tài liệu y học - sức khỏe khác
Các bài văn khấn nôm
Văn khấn cổ truyền
Văn khấn khác
Lĩnh vực khác
Mẹo vặt trong nấu ăn
Món ngon mỗi ngày
Đố vui
Hoạt động ngoại khóa
Văn hóa - giải trí
Khác
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 9 - Chương 3: Góc với đường tròn
CHƯƠNG 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
KIẾN THỨC CƠ BẢN
- Góc
·
ABE
có đỉnh
A
nằm trên đường tròn
( )
O
và các cạnh
cắt đường tròn đó được gọi là góc nội tiếp (Hình). Trong
trường hợp các góc nội tiếp có số đo không vượt quá
0
90
thì
số đo của chúng bằng nửa số đo của góc ở tâm, cùng chắn
một cung. Các góc nội tiếp đều có số đo bằng nửa số đo
cung bị chắn. Vì thế, nếu những góc này cùng chắn một
cung (hoặc chắn những cung bằng nhau) thì chúng bằng
nhau, nếu các góc nội tiếp này bằng nhau thì các cung bị
chắn bằng nhau.
Trên hình vẽ ta có:
·
· ·
¼
đ
1s
2
ABE ADE ADE AE===
- Cho đường tròn
( )
O
và dây cung
AB
. Từ điểm
A
ta kẻ tiếp
tuyến
Ax
với đường tròn, khi đó
·
BAx
được gọi là góc tạo bởi
tia tiếp tuyến với dây cung
AB
(Hình). Cũng như góc nội
tiếp, số đo góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số
đo cung bị chắn :
.
E
O
D
C
B
A
m
x
B
A
O
Chú ý: Việc nắm chắc các khái niệm, định lý, hệ quả về góc
nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có thể giúp
chúng ta so sánh số đo các góc, từ đó chứng minh được các
đường thẳng song song với nhau, các tam giác bằng nhau,
các tam giác đồng dạng với nhau…
I. Góc nội tiếp đường tròn
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
- Hai góc cùng chắn một cung thì bằng nhau và bằng nửa số
đo cung bị chắn. Trên hình vẽ:
·
·
¼
đ đ đ
1
s s s
2
ABD ACD AD= =
.
- Các góc chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau. Trên hình
vẽ:
¼
»
·
·
đ đ đ đs s s sAD CD AD CD ABD CAD= Û = Û =
.
B. VÍ DỤ
Ví dụ 1. Trên cạnh huyền
BC
của tam giác vuông
ABC
về
phía ngoài ta dựng hình vuông với tâm tại điểm
O
. Chứng
minh rằng
AO
là tia phân giác của góc
·
BAC
.
Lời giải:
N
M
O
C
B
A
O
D
C
B
A
Vì
O
là tâm của hình vuông nên
·
0
90BOC =
.
Lại có
·
0
90BAC =
suy ra bốn điểm
, , ,A B O C
cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
Đối với đường tròn này ta thấy
·
·
BAO BCO=
(cùng chắn
¼
BO
).
Mà
·
·
0 0
45 45BCO BAO= Þ =
. Do
·
0
90BAC =
, nên
·
·
·
0
45CAO BAC BAO= - =
. Vậy
·
·
BAO CAO=
, nghĩa là
AO
là tia
phân giác của góc vuông
·
BAC
(đpcm).
Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn
ABC
nội tiếp đường tròn
( )
O
.
Từ đỉnh
A
ta kẻ đường cao
AH
(
H
thuộc
BC
). Chứng minh
rằng
·
·
BAH OAC=
.
Lời giải:
Kẻ đường kính
AE
của đường tròn
( )
O
. Ta thấy
·
0
90ACE =
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Từ đó
· ·
0
90OAC AEC+ =
(1).
E
H
O
D
C
B
A
Theo giả thiết bài ra, ta có:
(2). Lại vì
·
·
AEC ABC=
(cùng chắn
¼
AC
) (3).
Từ (1),(2) và (3) suy ra
·
·
BAH OAC=
(đpcm).
Lưu ý: Cũng có thể giải bài toán theo hướng sau: Gọi
D
là
giao điểm của tia
AH
với đường tròn
( )
O
, chứng tỏ tứ giác
BDEC
là hình thang cân. Từ đó suy ra
»
»
đ đs sBD CE=
, dẫn
đến
·
·
BAD CAE=
, hay
·
·
BAH OAC=
.
Ví dụ 3. Cho tam giác đều
ABC
nội tiếp đường tròn
( )
O
.
Trên cung
¼
BC
không chứa
A
ta lấy điểm
P
bất kỳ (
P
khác
B
và
P
khác
C
). Các đoạn
PA
và
BC
cắt nhau tại
Q
.
a) Giả sử
D
là một điểm trên đoạn
PA
sao cho
PD PB=
.
Chứng minh rằng
PDBD
đều.
b) Chứng minh rằng
PA PB PC= +
.
c) Chứng minh hệ thức
1 1 1
PQ PB PC
= +
.
Lời giải:
P
O
Q
D
C
B
A
a) Trước tiên ta nhận thấy rằng tam giác
PBD
cân tại
P
.
Mặt khác,
·
·
·
0
60BPD BPA BCA= = =
(hai góc nội tiếp cùng
chắn
»
AB
của đường tròn
( )
O
). Vậy nên tam giác
PDB
đều.
b) Ta đã có
PB PD=
, vậy để chứng minh
PA PB PC= +
ta
sẽ chứng minh
DA PC=
. Thật vậy, xét hai tam giác
BPC
và
BDA
có:
BA BC=
(giả thiết),
BD BP=
(do tam giác
BPD
đều). Lại vì
·
·
0
60ABD DBC+ =
,
·
·
0
60PBC DBC+ =
nên
·
·
ABD PBC=
. Từ đó
BPC BDAD = D
(c.g.c), dẫn đến
DA PC=
(đpcm).
c) Xét hai tam giác
PBQ
và
PAC
ta thấy
·
0
60BPQ =
,
·
·
0
60APC ABC= =
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung
¼
AC
) suy
ra
·
·
·
·
·
,BPQ APC PBQ PBC PAC= = =
(hai góc nội tiếp cùng
chắn
¼
PC
). Từ đó
PBQ PACD D:
(g.g)
PQ PC
PB PA
Þ =
, hay
. .PQ PA PB PC=
. Theo kết quả câu
b
, ta có
PA PB PC= +
nên
( )
.PQ PB PC PB PC+ =
. Hệ thức này tương đương với
1 1 1
PQ PB PC
= +
(đpcm).
Ghi chú:
- Tứ giác
ABCD
có tính chất
. .AB CD BC AD=
(*) nói ở ví dụ
trên được gọi là tứ giác điều hòa. Loại tứ giác đặc biệt này có
nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học phẳng
khác.
- Nếu hệ thức (*) dưới dạng
AB BC
AD CD
=
và nhớ lại tính chất
đường phân giác trong tam giác ta có thể nêu thêm một tính
chất của tứ giác điều hòa.
- Tứ giác
ABCD
là một tứ giác điều hòa khi và chỉ khi các
đường phân giác của góc
·
BAD
và
·
BCD
cắt nhau tại một
điểm trên đường chéo
BD
.
- Tứ giác
ABCD
là tứ giác điều hòa khi và chỉ khi đường
phân giác của góc
·
ABC
và
·
ADC
cắt nhau trên đường chéo
AC
.
Ví dụ 4) Cho tam giác
ABC
nội tiếp trong đường tròn
( )O
.
Đường phân giác trong góc
A
cắt đường tròn ngoại tiếp tam
giác tại
D
. Gọi
I
là tâm vòng tròn nội tiếp tam giác
ABC
.
Chứng minh
DB DC DI= =
Giải:
Ta luôn có
DB DC=
do
AD
là phân giác trong góc
A
. Ta sẽ
chứng minh tam giác
DIB
cân tại
D
.
Thật vậy ta có:
·
·
·
IBD IBC CBD= +
.
Mặt khác
·
·
CBD CAD=
(Góc nội tiếp chắn cung
CD
) mà
·
·
BAD CAD=
,
·
·
IBC IBA=
(Tính chất phân giác) suy ra
·
· ·
IBD ABI BAI= +
. Nhưng
·
· ·
BID ABI BAI= +
(Tính chất góc ngoài). Như vậy tam giác
BDI
cân tại
D DB DI DCÞ = =
Nhận xét: Thông qua bài toán này ta có thêm tính chất:
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
IBC
là giao điểm của
phân giác trong góc
A
với
( )O
O
I
D
C
B
A
thông tin tài liệu
Góc với đường tròn là 1 chương rất quan trọng trong chương trình hình học. Ở đây chúng tôi tập hợp các kiến thức cơ bản đến nâng cao về góc với đường tròn có kèm các ví dụ minh họa để học sinh có cái nhìn đa dạng hơn về góc với đường tròn.
Mở rộng để xem thêm
xem nhiều trong tuần
SO SÁNH VĂN MIÊU TẢ VÀ VĂN TỰ SỰ
các lối chơi chữ
MẪU GIẤY THI A4
Mẫu slide thuyết trình về Golf
Mẫu slide chủ đề nông nghiệp
NGHIÊN CỨU VẮC - XIN PHÒNG BỆNH PRRS
yêu cầu tài liệu
Giúp bạn tìm tài liệu chưa có

LÝ THUYẾT TOÁN


×