DANH MỤC TÀI LIỆU
Luận văn - báo cáo
Thạc sĩ cao học
Kinh tế quản lý
Khoa học tự nhiên
Kinh tế - Thương mại
Lý luận chính trị
Kỹ thuật
Báo cáo, luận văn khác
Kỹ năng mềm
Nghệ thuật sống
Kỹ năng giao tiếp
Kỹ năng thuyết trình
Kỹ năng phỏng vấn
Kỹ năng đàm phán
Kỹ năng mềm khác
Mẫu slide
Mẫu slide cho thuyết trình
Mẫu slide cho giáo án điện tử
Mẫu slide khác
Mẫu slide - Template
Kinh doanh - tiếp thị
Marketing, bán hàng
PR truyền thông
Kế hoạch kinh doanh
Tài liệu kinh doanh, tiếp thị khác
Thương mại điện tử
Kinh tế - Quản lý
Bài giảng, giáo trình
Đề thi, bài tập
Sách kinh tế hay
Quản lý nhà nước
Quy hoạch đô thị
Tài liệu kinh tế khác
Tài chính - Ngân hàng
Tài chính doanh nghiệp
Kế toán, kiểm toán
Ngân hàng - tín dụng
Tài liệu tài chính - ngân hàng khác
Biểu mẫu - Văn bản
Mẫu hợp đồng
Mẫu đơn từ
Biểu mẫu, văn bản khác
Thủ tục hành chính
Giáo dục đào tạo
Tài liệu, đề thi môn Toán
Tài liệu, đề thi môn Ngữ Văn
Tài liệu, đề thi THPT các trường
Tài liệu, đề thi Vật Lý
Tài liệu, đề thi Sinh Học
Tài liệu, đề thi Hóa Học
Tài liệu, đề thi Lịch Sử
Tài liệu, đề thi học sinh giỏi
Tài liệu, đề thi khác
Giải bài tập các môn
Giáo án bài giảng
Giáo án, bài giảng lớp 6
Giáo án, bài giảng lớp 7
Giáo án, bài giảng lớp 8
Giáo án, bài giảng lớp 9
Giáo án, bài giảng lớp 10
Giáo án, bài giảng lớp 11
Giáo án, bài giảng lớp 12
Giáo án, bài giảng tiểu học
Giáo án, bài giảng khác
Công nghệ thông tin
Cơ sở dữ liệu
Lập trình
Đồ họa, thiết kế
An ninh, bảo mật
Tài liệu CNTT khác
Văn bản pháp luật
Thuế - Lệ phí - Kinh phí
Giáo dục - Đào tạo
Nghị định
Quyết định
Thông tư
Luật - pháp lệnh
Văn bản pháp luật khác
Học tiếng Anh
Luyện Thi TOEIC
Luyện thi IELTS
Tiếng Anh phổ thông
Tiếng Anh trẻ em
Luyện thi TOEFL
Tài liệu học tiếng Anh khác
Y học- sức khỏe
Sống khỏe
Bí quyết làm đẹp
Bệnh thường gặp
Dinh dưỡng
Mẹ và bé
Tài liệu y học - sức khỏe khác
Các bài văn khấn nôm
Văn khấn cổ truyền
Văn khấn khác
Lĩnh vực khác
Mẹo vặt trong nấu ăn
Món ngon mỗi ngày
Đố vui
Hoạt động ngoại khóa
Văn hóa - giải trí
Khác
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 9 - Hệ thức lượng trong tam giác vuông
CHƯƠNG 1- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Hệ thức về cạnh và đường cao
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong
tam giác vuông, ngoài việc nắm vững các kiến thức về định
lý Talet, về các trường hợp đồng dạng của tam giác, cần
phải nắm vững các kiến thức sau:
Tam giác
ABC
vuông tại
A
, đường cao
AH
, ta có:
1)
2 2 2
a b c= +
.
2)
2 2
. '; . 'b ab c ac= =
3)
2'. 'h b c=
4)
. .ah bc=
.
5)
.
6)
2
2
'b b
aa
=
.
Chú ý: Diện tích tam giác vuông:
1
2
S ab=
Ví dụ 1. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, đường cao
AH
.
Biết
: 3: 4AB AC =
và
21AB AC cm+ =
.
a) Tính các cạnh của tam giác
ABC
.
b) Tính độ dài các đoạn
, ,AH BH CH
.
b'
c'
h
c
b
a
H
C
B
A
Giải:
a). Theo giả thiết:
: 3: 4AB AC =
,
suy ra
3
3 4 3 4
AB AC AB AC+
= = =
+
. Do đó
3.3 9AB = =
( )
cm
;
( )
3.4 12AC cm= =
.
Tam giác
ABC
vuông tại
A
, theo định lý Pythagore ta có:
2 2 2 2 2
9 12 225BC AB AC= + = + =
, suy ra
15BC cm=
.
b) Tam giác
ABC
vuông tại
A
, ta có
. .AH BC AB AC=
, suy ra
( )
. 9.12 7,2
15
AB AC
AH cm
BC
= = =
.
2
.AH BH HC=
. Đặt
( )
0 9BH x x= < <
thì
15HC x= -
, ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
22
7,2 15 15 51,84 0 5,4 9,6 5,4 0x x x x x x x= - Û - + = Û - = - =
( ) ( )
5,4 9,6 0 5,4x x xÛ - - = Û =
hoặc
9,6x=
(loại)
Vậy
5,4BH cm=
. Từ đó
( )
9,6HC BC BH cm= - =
.
Chú ý: Có thể tính
BH
như sau:
2
.AB BH BC=
suy ra
( )
2 2
95,4
15
AB
BH cm
BC
= = =
.
Ví dụ 2: Cho tam giác cân
ABC
có đáy
2BC a=
, cạnh bên
bằng
( )
b b a>
.
a) Tính diện tích tam giác
ABC
b) Dựng
BK AC^
. Tính tỷ số
AK
AC
.
A
B
C
H
Giải:
a). Gọi
H
là trung điểm của
BC
. Theo định lý Pitago ta có:
2 2 2 2 2
AH AC HC b a= - = -
Suy ra
2 2
1 1
.
2 2
ABC
S BC AH a b a= = -
2 2
AH b aÞ = -
b). Ta có
1 1
. .
2 2
ABC
BC AH BK AC S= =
Suy ra
2 2
. 2BC AH a
BK b a
AC b
= = -
. Áp dụng định lý Pitago
trong tam giác vuông
AKB
ta có:
( ) ( )
2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
4b a
a
AK AB BK b b a
b b
-
= - = - - =
. Suy ra
2 2
2b a
AK b
-
=
do đó
2 2
2
2b a
AK
AC b
-
=
.
Ví dụ 3: Cho tam giác
ABC
với các đỉnh
, ,A B C
và các cạnh
đối diện với các đỉnh tương ứng là:
, ,a b c
.
a) Tính diện tích tam giác
ABC
theo
a
b) Chứng minh:
2 2 2
4 3a b c S+ + ³
Giải:
a). Ta giả sử góc
A
là góc lớn nhất của tam giác
,ABC B CÞ
là các góc nhọn. Suy ra chân
K
H
C
B
A
H
C
B
A
đường cao hạ từ
A
lên
BC
là điểm
H
thuộc cạnh
BC
.
Ta có:
BC BH HC= +
. Áp dụng định lý
Pi ta go cho các tam giác vuông
,AHB AHC
ta có:
2 2 2 2 2 2
,AB AH HB AC AH HC= + = +
Trừ hai đẳng thức trên ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
.c b HB HC HB HC HB HC a HB HC- = - = + - = -
2 2
c b
HB HC a
-
Þ - =
ta cũng có:
2 2 2
2
a c b
HB HC a BH a
+ -
+ = Þ =
. Áp dụng định lý Pitago cho
tam giác vuông
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
a c b a c b a c b
AHB AH c c c
a a a
æ ö æ öæ ö
+ - + - + -
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
Þ = - = - +
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è øè ø
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2
.
2 2 4
a c b b a c a b c a c b b a c b c a
a a a
é ùé ù
+ - - - + + + - + - + -
ê úê ú
ê úê ú
= =
ê úê ú
ê úê ú
ë ûë û
Đặt
2p a b c= + +
thì
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
16 2
4
p p a p b p c
p p a p b p c
AH AH a
a
- - -
- - -
= Þ =
.
Từ đó tính được
( ) ( ) ( )
1.
2
S BC AH p p a p b p c= = - - -
b). Từ câu
)a
ta có:
( ) ( ) ( )
S p p a p b p c= - - -
. Áp dụng bất
đẳng thức Cô si ta có:
( ) ( ) ( )
33
3 27
p a p b p c p
p a p b p c æ ö
- + - + - ÷
ç÷
- - - £ =
ç÷
ç÷
ç
è ø
. Suy ra
3 2
.27 3 3
p p
S p£ =
. Hay
( )
2
12 3
a b c
S+ +
£
. Mặt khác ta dễ chứng
minh được:
( )
( )
2222
3a b c a b c+ + £ + +
suy ra
( )
2 2 2
2 2 2
34 3
12 3
a b c
S a b c S
+ +
£ Û + + ³
Dấu bằng xảy ra hki và chỉ khi tam giác
ABC
đều.
Ví dụ 4. Cho tam giác nhọn
ABC
đường cao
CK
;
H
là trực
tâm của tam giác. Gọi
M
là một điểm trên
CK
sao cho
·
0
90AMB =
.
1 2
, ,S S S
theo thứ tự là diện tích các tam giác
,AMB ABC
và
ABH
. Chứng minh rằng
1 2
.S S S=
.
Giải:
Tam giác
AMB
vuông tại
M
có
MK AB^
nên
2
.MK AK BK=
(1).
AHK CBKD D:
vì có
·
·
0
90AKH CKB= =
;
·
·
KAH KCB=
(cùng phụ với
·
ABC
). Suy ra
AK HK
CK BK
=
, do đó
. .AK KB CK KH=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
2
.MK CK HK=
nên
.MK CK HK=
;
D
K
M
H
C
B
A
1 2
1 1 1 1
. . . . . . .
2 2 2 2
AMB
S AB MK AB CK HK AB CK AB HK S S= = = =
.
Vậy
1 2
.S S S=
.
Ví dụ 5. Cho hình thang
ABCD
có
µ
µ
µ
0 0
90 , 60 , 30 ,A D B CD cmCA CB= = = = ^
. Tính diện tích của
hình thang.
Giải:
Ta có
·
·
0
60CAD ABC= =
(cùng phụ với
·
CAB
), vì thế trong
tam giác vuông
ACD
ta có
2AC AD=
.
Theo định lý Pythagore thì:
2 2 2
AC AD DC= +
hay
( )
22 2
2 30AD AD= +
Suy ra
2 2
3 900 300AD AD= Û =
nên
10 3AD =
( )
cm
.
Kẻ
CH AB^
. Tứ giác
AHCD
là hình chữ nhật vì có
µ
µ
µ
0
90A D H= = =
, suy ra
( )
30 ; 10 3AH CD cmCH AD cm= = = =
.
Tam giác
ACB
vuông tại
C
, ta có:
2
.CH HA HB=
, suy ra
( )
( )
2
2
10 3 300 10
30 30
CH
HB cm
HA
= = = =
, do đó
( )
30 10 40AB AH HB cm= + = + =
.
( ) ( )
( )
2
1 1.10 3. 40 30 350 3
2 2
ABCD
S CH AB CD cm= + + =
.
Vậy diện tích hình thang
ABCD
bằng
2
350 3cm
.
thông tin tài liệu
Hệ thức lượng trong tam giác vuông là một chuyên đề quan trọng trong chương trình hình học. Ở đây là tổng hợp các kiến thức và ví dụ minh họa chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Mở rộng để xem thêm
xem nhiều trong tuần
Tham khảo 12 bài tập nguyên lý thống kê có lời giải
4 đề thi học sinh giỏi Toán lớp 2, có đáp án kèm theo
Trắc nghiệm kinh tế
Địa lý 12 Phát triển cây công nghiệp lâu năm Tây Nguyên
Mẫu slide về các môn thể thao
Vẽ phóng tranh ảnh
yêu cầu tài liệu
Giúp bạn tìm tài liệu chưa có

LÝ THUYẾT TOÁN


×