DANH MỤC TÀI LIỆU
Luận văn - báo cáo
Thạc sĩ cao học
Kinh tế quản lý
Khoa học tự nhiên
Kinh tế - Thương mại
Lý luận chính trị
Kỹ thuật
Báo cáo, luận văn khác
Kỹ năng mềm
Nghệ thuật sống
Kỹ năng giao tiếp
Kỹ năng thuyết trình
Kỹ năng phỏng vấn
Kỹ năng đàm phán
Kỹ năng mềm khác
Mẫu slide
Mẫu slide cho thuyết trình
Mẫu slide cho giáo án điện tử
Mẫu slide khác
Mẫu slide - Template
Kinh doanh - tiếp thị
Marketing, bán hàng
PR truyền thông
Kế hoạch kinh doanh
Tài liệu kinh doanh, tiếp thị khác
Thương mại điện tử
Kinh tế - Quản lý
Bài giảng, giáo trình
Đề thi, bài tập
Sách kinh tế hay
Quản lý nhà nước
Quy hoạch đô thị
Tài liệu kinh tế khác
Tài chính - Ngân hàng
Tài chính doanh nghiệp
Kế toán, kiểm toán
Ngân hàng - tín dụng
Tài liệu tài chính - ngân hàng khác
Biểu mẫu - Văn bản
Mẫu hợp đồng
Mẫu đơn từ
Biểu mẫu, văn bản khác
Thủ tục hành chính
Giáo dục đào tạo
Tài liệu, đề thi môn Toán
Tài liệu, đề thi môn Ngữ Văn
Tài liệu, đề thi THPT các trường
Tài liệu, đề thi Vật Lý
Tài liệu, đề thi Sinh Học
Tài liệu, đề thi Hóa Học
Tài liệu, đề thi Lịch Sử
Tài liệu, đề thi học sinh giỏi
Tài liệu, đề thi khác
Giải bài tập các môn
Giáo án bài giảng
Giáo án, bài giảng lớp 6
Giáo án, bài giảng lớp 7
Giáo án, bài giảng lớp 8
Giáo án, bài giảng lớp 9
Giáo án, bài giảng lớp 10
Giáo án, bài giảng lớp 11
Giáo án, bài giảng lớp 12
Giáo án, bài giảng tiểu học
Giáo án, bài giảng khác
Công nghệ thông tin
Cơ sở dữ liệu
Lập trình
Đồ họa, thiết kế
An ninh, bảo mật
Tài liệu CNTT khác
Văn bản pháp luật
Thuế - Lệ phí - Kinh phí
Giáo dục - Đào tạo
Nghị định
Quyết định
Thông tư
Luật - pháp lệnh
Văn bản pháp luật khác
Học tiếng Anh
Luyện Thi TOEIC
Luyện thi IELTS
Tiếng Anh phổ thông
Tiếng Anh trẻ em
Luyện thi TOEFL
Tài liệu học tiếng Anh khác
Y học- sức khỏe
Sống khỏe
Bí quyết làm đẹp
Bệnh thường gặp
Dinh dưỡng
Mẹ và bé
Tài liệu y học - sức khỏe khác
Các bài văn khấn nôm
Văn khấn cổ truyền
Văn khấn khác
Lĩnh vực khác
Mẹo vặt trong nấu ăn
Món ngon mỗi ngày
Đố vui
Hoạt động ngoại khóa
Văn hóa - giải trí
Khác
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 9 - Những định lý hình học nổi tiếng
NHỮNG ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC NỔI TIẾNG
1. Đường thẳng Euler
1.(Đường thẳng Euler). Cho tam giác
ABC
. Chứng minh rằng
trọng tâm
G
, trực tâm
H
và tâm đường tròn ngoại tiếp
O
cùng
nằm trên một đường thẳng. Hơn nữa
2
GH
GO =
. Đường thẳng nối
, ,H G O
gọi là đường thẳng Euler của tam giác
ABC
.
Chứng minh:
Cách 1: Gọi
,E F
lần lượt là trung điểm của
. Ta có
EF
là đường trung bình của tam giác
ABC
nên
/ /EF AB
. Ta
lại có
/ /OF BH
(cùng vuông góc với
AC
). Do đó
·
·
OFE ABH=
(góc có cạnh tương ứng song song). Chứng
minh tương tự
·
·
OEF BAH=
.
Từ đó có
ABH EFOD D:
(g.g)
2
AH AB
OE EF
Þ = =
(do
EF
là
đường trung bình của tam giác
ABC
). Mặt khác
G
là trọng
tâm của tam giác
ABC
nên
2
AG
GE =
. Do đó
2
AG AH
FG OE
= =
, lại
E
H'
M
O
H
G
D
C
B
A
O
G
H
C
B
A
có
·
·
HAG OEG=
(so le trong,
/ /OE AH
)
HAG EOGÞ D D:
(c.g.c)
·
·
HGA EGOÞ =
. Do
·
·0
180EGO AGO+ =
nên
·
·0
180HGA AGO+ =
hay
·
0
180HGO =
.
Vậy
, ,H G O
thẳng hàng.
Cách 2: Kẻ đường kính
AD
của đường tròn
( )O
ta có
BH AC^
(Tính chất trực tâm)
AC CD^
(Góc nội tiếp chắn
nửa đường tròn) suy ra
/ /BH CD
. Tương tự ta cũng có
/ /CH BD
nên tứ giác
BHCD
là hình bình hành, do đó
HD
cắt
BC
tại trung điểm của mỗi đường. Từ đó cũng suy ra
1
/ / 2
OM AH=
(Tính chất đường trung bình tam giác
ADH
).
Nối
AM
cắt
HO
tại
G
thì
1
2
GO OM
GH AH
= =
nên
G
là trọng tâm
của tam giác
ABC
.
Cách 3: sử dụng định lý Thales :Trên tia đối
GO
lấy
'H
sao
cho
' 2GH GO=
. Gọi
M
là trung điểm
BC
. Theo tính chất
trọng
tâm thì
G
thuộc
AM
và
2GA GM=
.
Áp dụng định lý Thales
vào tam giác
GOM
dễ suy ra
'/ /AH OM
(1).Mặt khác do
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
,
M
là trung điểm
BC
nên
OM BC^
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
'AH BC^
, tương tự
'BH CA^
. Vậy
'H Hº
là trực tâm tam giác
ABC
. Theo cách dựng
'H
ta có
ngay kết luận bài toán.
M
H'
O
G
H
C
B
A
Chú ý rằng: Nếu ta kéo dài
AH
cắt đường tròn tại
H'
thì
0
AH'D 90
(Góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) nên
EM
là
đường trung bình của tam giác
HH'D
suy ra
H
đối xứng với
H'
qua
BC
. Nếu gọi
O'
là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác
HBC
thì ta có
O'
đối xứng với
O
qua
BC
.
Đường thẳng đi qua
H,G,O
được gọi là đường thẳng
Euler của tam giác
ABC
. Ngoài ra ta còn có
OH 3OG
.
*Đường thẳng Euler có thể coi là một trong những định lý
quen thuộc nhất của hình học phẳng. Khái niệm đường
thẳng Euler trước hết liên quan đến tam giác, sau đó được
mở rộng và ứng dụng cho tứ giác nội tiếp và cả
n
- giác nội
tiếp, trong chuyên đề ta quan tâm đến một số vấn đề có liên quan đến khái
niệm này trong tam giác.
1.1. (Mở rộng đường thẳng Euler) Cho tam giác
ABC
.
P
là điểm bất kỳ trong mặt phẳng. Gọi
', ', 'A B C
lần lượt là
trung điểm của
, ,BC CA AB
.
G
là trọng tâm tam giác
ABC
.
a) Chứng minh rằng các đường thẳng qua
, ,A B C
lần lượt
song song với
', ', 'PA PB PC
đồng quy tại một điểm
P
H
, hơn
nữa
, ,
P
H G P
thẳng hàng và
2
P
GH
GP =
.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng qua
', ', 'A B C
lần lượt
song song với
, ,PA PB PC
đồng quy tại một điểm
P
O
, hơn nữa
, ,
P
O G P
thẳng hàng và
1
2
P
GO
GP =
.
Giải:
a) Ta thấy rằng kết luận của bài toán khá rắc rối, tuy nhiên ý
tưởng của lời giải câu 1 giúp ta tìm đến một lời giải rất ngắn
gọn như sau:
Lấy điểm
Q
trên tia đối tia
GP
sao
cho
2GQ GP=
. Theo tính chất trọng
tâm ta thấy ngay
G
thuộc
'AA
và
2 'GA GA=
. Vậy áp dụng định lý
Thales vào tam giác
'GPA
dễ suy ra
/ / 'AQ PA
. Chứng minh
tương tự
/ / ', / / 'BQ PB CQ PC
. Như vậy các
đường thẳng qua
, ,A B C
lần lượt song song với
', ', 'PA PB PC
đồng quy tại
P
Q Hº
. Hơn nữa theo cách dựng
Q
thì
thẳng hàng và
2
P
GH
GO =
. Ta có ngay các kết luận bài toán.
b) Ta có một lời giải tương tự. Lấy điểm
R
trên tia đối tia
GP
sao cho
1
2
GR GP=
.
Theo tính chất trọng tâm ta thấy ngay
G
thuộc
'AA
và
2 'GA GA=
. Vậy áp dụng
định lý Thales vào tam giác
GPA
dễ suy ra
/ /AR PA
. Chứng minh tương tự
/ / , / /BR PB CR PC
. Như vậy
các đường thẳng qua
, ,A B C
lần lượt song song với
, ,PA PB PC
đồng quy tại
P
R Oº
. Hơn nữa theo cách dựng
R
thì
, ,
P
O G P
thẳng hàng và
2
P
GP
GO =
. Ta có ngay các kết luận
bài toán.
Hp
G
Q
P
C'
B'
A'
C
B
A
R
≡
Op
A
B
C
A'
B'
C'
P
G
Nhận xét: Bài toán trên thực sự là mở rộng của đường
thẳng Euler.
Phần a) Khi
P Oº
tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác
ABC
ta có ngay
P
H H=
là trực tâm của tam giác
ABC
. Ta
thu dược nội dung của bài toán đường thẳng Euler.
Phần b) Khi
P Hº
trực tâm của tam giác
ABC
thì
P
O Oº
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
1.2. Cho tam giác
ABC
trực tâm
H
. Khi đó đường thẳng
Euler của các tam giác
,HBC
BC
,HCA HAB
đồng quy tại một
điểm trên đường thẳng Euler của tam giác
ABC
.
Giải:
Để giải bài toán này chúng ta cần hai bổ đề quen thuộc sau:
Bổ đề 1. Cho tam giác
ABC
trực tâm
H
. Thì
( ) ( ) ( )
, ,HBC HCA HAB
lần lượt đối xứng với
( )
ABC
qua
, ,BC CA AB
.
Chứng minh: Gọi giao điểm khác
A
của
HA
với
( )
ABC
là
'A
. Theo tính chất
trực tâm và góc nội tiếp dễ thấy
·
·
·
'HBC HAC A BC= =
. Do đó tam giác
'HBA
cân tại
B
hay
H
và
'A
đối xứng
nhau qua
BC
do đó
( )
HBC
đối xứng
( )
ABC
.
Tương tự cho
( ) ( )
,HCA HAB
, ta có điều phải chứng minh.
H
O
A
O
A'
C
B
A
Bổ đề 2. Cho tam giác
ABC
, trực tâm
H
, tâm đường tròn
ngoại tiếp
O
,
M
là trung điểm thì
2HA OM=
.
Chứng minh:
Gọi
N
là trung điểm của
CA
dễ thấy
/ /OM HA
do cùng vuông góc với
BC
và
/ /OM HB
do cùng vuông góc với
CA
nên ta có tam giác
HAB OMND D:
tỷ số
2
AB
MN =
. Do đó
2HA OM=
,
đó là điều phải chứng minh.
Trở lại bài toán. Gọi
A
O
là tâm
( )
HBC
theo bổ đề 5.1 thì
A
O
đối xứng với
O
qua
BC
,kết hợp với bổ đề 2 suy ra
A
OO
song song và bằng
OH
nên tứ giác
A
AHO A
là hình bình hành
nên
A
AO
đi qua trung điểm
E
của
OH
.
Tuy nhiên dễ thấy
A
là trực tâm tam giác
HBC
do đó đường
thẳng Euler của tam giác
HBC
là
A
AO
đi qua
E
. Tương tự
thì đường thẳng Euler của các tam giác
,HCA HAB
cũngđi
qua
E
nằm trên
OH
là đường thẳng Euler của tam giác
ABC
. Đó là điều phải chứng minh.
A
B
C
H
G
O
M
O
A
O
E
H
C
B
A
thông tin tài liệu
Tổng hợp các định lý nổi tiếng về hình học giúp học sinh có cái nhìn đa dạng và tổng hợp kiến thức chắc chắn về hình học
Mở rộng để xem thêm
xem nhiều trong tuần
Giáo trình Quản trị học của Đại học kinh tế quốc dân
4 đề thi học sinh giỏi Toán lớp 2, có đáp án kèm theo
Mẫu slide thuyết trình về Golf
Bài tập ôn tập cuối tuần lớp 3: Tuần 21
Bài tập ôn tập cuối tuần lớp 2: Tuần 21
BÀI GIẢNG: KINH TẾ DU LỊCH
yêu cầu tài liệu
Giúp bạn tìm tài liệu chưa có

LÝ THUYẾT TOÁN


×