Chuyên đề Dãy số - Giới hạn
Chuyên đề
DÃY SỐ - GIỚI HẠN
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
(3 tiết)
A. KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CƠ BẢN
I. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta
thực hiện như sau:
Bước1:Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tùy ý (k
1), chứng minh rằng
mệnh đề đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên
dương n
p, ta thực hiện như sau
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
+ ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k
p và phải chứng
minh mệnh đề đúng với n=k+1.
II. Dãy số
1. Định nghĩa
: *
( )
u
n u n
dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, …
2. Dãy số tăng, dãy số giảm:
(un) là dãy số tăng
un+1 > un với
n
N*.
un+1 – un > 0 với
n
N*
11
n
n
u
u
với
n
N* ( un > 0).
(un) là dãy số giảm
un+1 < un với
n
N*.
un+1 – un< 0 với
n
N*
11
n
n
u
u
với
n
N* (un > 0).
3. Dãy số bị chặn
(un) là dãy số bị chặn trên
M
R: un
M,
n
N*.
(un) là dãy số bị chặn dưới
m
R: un
m,
n
N*.
(un) là dãy số bị chặn
m, M
R: m
un
M,
n
N*.
III. Cấp số cộng
1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng
un+1 = un + d,
n
N* (d: công sai)
2. Số hạng tổng quát:
1
( 1)
n
u u n d
với n
2
1
3. Tính chất của các số hạng:
1 1
2
k k
k
u u
u
với k
2
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
1
1 2
( )
... 2
n
n n
n u u
S u u u
=
1
2 ( 1)
2
n u n d
IV. Cấp số nhân
1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân
un+1 = un.q với n
N* (q: công bội)
2. Số hạng tổng quát:
1
1
.
n
n
u u q
với n
2
3. Tính chất các số hạng:
2
1 1
.
k k k
u u u
với k
2
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
1
1
, 1
(1 ) , 1
1
n
n
n
S nu q
u q
S q
q
B. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Phương pháp quy nạp toán học
Bài 1. Chứng minh rằng:
1 1 1 1 2 1
... , *
2 4 8 2 2
n
n n
n N
Giải
Bước 1: Với n = 1 thì mệnh đề trở thành
1 1
2 2
là mệnh đề đúng
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1 nghĩa là:
1 1 1 1 2 1
...
2 4 8 2 2
k
k k
Ta chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:
1
1 1
1 1 1 1 2 1
...
2 4 8 2 2
k
k k
Thật vậy
1
1
1
1
1 1 1 1 1
...
2 4 8 2 2
2 1 1
2 2
2 1
2
k k
k
k k
k
k
VT
VP
Vậy mệnh đề đã cho đúng với mọi
*n N
Bài 2. Chứng minh rằng:
3 2
3 5
n
u n n n
chia hết cho 3 ,
*
n
Giải
Bước 1: Với
1n
, vế trái bằng 9 chi hết cho 3. Mệnh đề đã cho đúng.
Bước 2: Giả sử mệnh đề đã cho đúng với
n k
, tức là:
3 2
3 5
k
u k k k
chia hết cho 3.
Ta chứng minh hệ thức đã cho cũng đúng với
1:n k
Ta có:
3 2
1
1 3 1 5 1
k
u k k k
3 2 2
2
3 5 3 3 3
3 3 3
k
k k k k k
u k k
2
Vậy
1k
u
chi hết cho 3, ta được điều phải chứng minh.
Dãy số
Bài 3. Xét tính tăng giảm của các dãy số:
1 2 1
) 2 ) 5 2
n n
n
a u b u
n n
Giải
1
1
) 2
1 1 1
2 2 0, *
1 ( 1)
n
n n
a u n
u u n N
n n n n
Nên là dãy số giảm.
2
1
2
2 1
)5 2
5 2 2 3 10 19 6
. 1, *
2 1 5 7 10 19 7
n
n
n
n
b u n
un n n n n N
u n n n n
Nên là dãy số giảm.
Bài 4. Tìm số hạng tổng quát của dãy số:
1*
n 1 n
U 3 n N
U 2U
Giải
Ta có: U1=3
U2=2U1=3.2
U3=2.U2=3.22
.....................
Dự đoán: Un=3.2n-1. Sau đó khẳng định bằng quy nạp.
Cấp số cộng
Bài 5. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:
1 3 5
1 6
10
17
u u u
u u
Giải
Ta có:
1 3 5
1 6
10
17
u u u
u u
11
1
2 10 16
2 5 17 3
u d u
u d d
Bài 6. Một CSC có số hạng thứ 54 và thứ 4 lần lượt là -61 và 64. Tìm số hạng thứ 23.
Giải
Ta có:
1
1
n
u u n d
54 1
4 1
53
3
u u d
u u d
Giải hệ phương trình , ta được:.
1
23 1
143 5
,
2 2
33
22 2
u d
u u d
Cấp số nhân
Bài 7. Tìm các số hạng của cấp số nhân
( )
n
u
có 5 số hạng, biết:
3 5
3, 27u u
3
Giải
Ta có:
2
3 1
4
51
3 3
27 27
u uq
uuq
1
1, 3
3
u q
Vậy có hai dãy số:
1,1,3,9,27
3
và
1, 1,3, 9,27
3
Bài 8. Tìm 3 số hạng của một cấp số nhân mà tổng số là 19 và tích là 216.
Giải
Gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân là:
; ;
aa aq
q
(với q là công bội)
Theo giả thiết ta có:
. . 216 (1)
19 (2)
aa aq
q
aa aq
q
Từ (1) và (2) ta có
6a
và
3 2
hoÆc
2 3
q q
Vậy 3 số hạng cần tìm là: 4, 6, 9 hay 9, 6, 4.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Phương pháp quy nạp toán học
Câu 1. Giá trị của tổng
2 2 2 2
1 2 3 ...
n
S n
là:
A.
( 1)( 2) .
6
n n n
B.
( 2)(2 1) .
6
n n n
C.
( 1)(2 1) .
6
n n n
D. Đáp số khác.
Câu 2. Với mọi số nguyên dương n, tổng
1 1 1
...
1.2 2.3 ( 1)
n
Sn n
là:
A.
1.
1n
B.
.
1
n
n
C.
.
2
n
n
D.
1.
2
n
n
Câu 3. Với mọi số nguyên dương n, tổng
311
n
S n n
chia hết cho:
A.
6.
B.
4.
C.
9.
D.
12.
Câu 4. Với mọi số nguyên dương n thì
1 2 1
11 12
n n
n
S
chia hết cho:
A.
3.
B.
33.
C.
133.
D.
13.
Câu 5. Với mọi số tự nhiên
2n
, bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
3 4 n 1.
n
B.
3 4 n 2.
n
C.
3 3n 4.
n
D.
3 3n 1.
n
Câu 6. Với mọi số tự nhiên
1n
, bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
1 1 1 13
... .
1 2 2 20n n n
B.
1 1 1 13
... .
1 2 2 21n n n
C.
1 1 1 13
... .
1 2 2 17n n n
D.
1 1 1 13
... .
1 2 2 24n n n
Dãy số
Câu 7: Dãy số
n
u
xác định bởi công thức un = 2n + 1 với mọi n = 0, 1, 2, … chính là:
A. Dãy số tự nhiên lẻ.
4
B. Dãy 1, 3, 5, 9 13, 17.
C. Dãy các số tự nhiên chẵn.
D. Dãy gồm các số tự nhiên lẻ và các số tự nhiên chẵn.
Câu 8: Cho dãy số (un) xác định bởi:
1
1
2
2 . , n 1
n
n n
u
u u
. Ta có u5 bằng:
A. 10. B. 1024. C. 2048. D. 4096.
Câu 9: Cho dãy số (un) xác định bởi:
1
1
1
2
2 , n 2
n n
u
u u n
. Khi đó u50 bằng:
A. 1274,5. B. 2548,5. C. 5096,5. D. 2550,5.
Câu 10: Cho dãy số (un) xác định bởi:
1
1
1
2 . , n 2
n n
u
u n u
. Khi đó u11 bằng:
A. 210.11!. B. -210.11!. C. 210.1110. D. -210.1110.
Câu 11: Cho dãy số (un):
1
1
1
, n 1
n n
u
u u n
Ta có u11 bằng:
A. 36. B. 60. C. 56. D. 44.
Câu 12: Cho dãy số
n
u
với
1
1
1
2
1, n = 2, 3, ...
2
n
n
u
uu
. Giá trị của u4 bằng:
A.
3
4
.B.
4
5
.C.
5
6
.D.
6
7
.
Câu 13: Cho dãy số
( )
n
u
với
12
( 1) cos
n
n
un
. Khi đó
12
u
bằng:
A.
1
2
.B. .
3
2
.C.
1
2
.D.
3
2
.
Câu 14: Cho dãy số
( )
n
u
với
1
1
2
nn
n
u
. Khi đó
1n
u
bằng:
A.
1
1
2
nn
n
u
.B.
1
2
2
nn
n
u
.C.
11
2
2
nn
n
u
.D.
12
nn
n
u
.
Câu 15: Cho dãy số có
1*
1 2
1
2 3
n n n
un N
u u u
. Khi đó số hạng thứ n+3 là:
A.
3 2 1
2 3 .
n n n
u u u
B.
3 2
2 3 .
n n n
u u u
C.
3 2 1
2 3 .
n n n
u u u
D.
3 2 1
2 3 .
n n n
u u u
Câu 16: Cho dãy số có công thức tổng quát là
2n
n
u
thì số hạng thứ n+3 là:
A.
3
32
n
u
.B.
38.2n
n
u
.C.
36.2n
n
u
.D.
36n
n
u
.
Câu 17: Cho tổng
1 2 3 ..........
n
S n
. Khi đó
3
S
là bao nhiêu?
A. 3. B. 6. C. 1. D. 9.
Câu 18: Cho dãy số
1
n
n
u
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
A. Dãy tăng. B. Dãy giảm. C. Bị chặn. D. Không bị chặn.
Câu 19: Dãy số
1
1
n
un
là dãy số có tính chất:
5
A. Tăng. B. Giảm.
C. Không tăng không giảm. D. Tất cả đều sai.
Câu 20: Trong các dãy số sau, dãy số nào thoả mãn:
u0 = 1, u1 = 2, un = 3un - 1 - 2un - 2 , n = 2, 3, …?
A. 1, 2, 4, 8, 16, 32, …
B. 1, 2, 8, 16, 24, 24, 54, …
C. Dãy có số hạng tổng quát là un = 2n + 1 với n = 0, 1, 2, …
D. Dãy có số hạng tổng quát là un = 2n với n = 0, 1, 2, …
Câu 21: Xét các câu sau:
Dãy 1, 2, 3, 4, … là dãy bị chặn (dưới và trên) (1)
Dãy
1 1 1
1, , ,
3 5 7
… là dãy bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên (2)
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (1) đúng. B. Chỉ có (2) đúng.
C. Cả hai câu đều đúng. D. Cả hai câu đều sai.
Câu 22: Cho dãy số (un), biết un = 3n. Số hạng un + 1 bằng:
A. 3n + 1. B. 3n + 3. C. 3n.3. D. 3(n + 1).
Câu 23: Cho dãy số (un), biết un = 3n. Số hạng u2n bằng
A. 2.3n.B. 9n.C. 3n + 3. D. 6n.
Câu 24: Cho dãy số (un), biết un = 3n. Số hạng un - 1 bằng:
A. 3n – 1. B.
3
3
n
.C. 3n – 3. D. 3n – 1.
Câu 25: Cho dãy số (un), biết un = 3n. Số hạng u2n - 1 bằng:
A. 32.3n – 1. B. 3n.3n – 1.C. 32n – 1. D. 32(n - 1).
Câu 26: Cho dãy số
sin
n
un
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây?
A.
1
sin 1
n
un
.B. Dãy số bị chặn.
C. Dãy số tăng. D. Dãy số không tăng, không giảm.
Câu 27: Dãy số
3 1
3 1
n
n
un
là dãy số bị chặn trên bởi:
A.
1
2
.B.
1
3
.C. 1. D. 0.
Câu 28: Trong các dãy số (un) sau đây, hãy chọn dãy số giảm?
A. un = sin n. B. un =
21n
n
.C. un =
1n n
. D. un =
1 2 1
nn
.
Câu 29: Trong các dãy số (un) sau đây, hãy chọn dãy số bị chặn ?
A. un =
21n
.B. un = n +
1
n
.
C. un =2n + 1. D. un =
1
n
n
.
Câu 30: Hãy cho biết dãy số (un) nằo dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát
un của nó là:
A.
1
1 sin
n
n
.B.
2
1 5 1
nn
.C.
1
1n n
.D.
21
n
n
.
Câu 31. Đặt S1(n) = 1 + 2 + 3 + … + n
S2(n) = 12 + 22 + 32 + … + n2
6
có thể bạn quan tâm
MẪU GIỚI THIỆU CHUYỂN SINH HOẠT HỘI
1
5.823
3.495
Biểu mẫu, văn bản khác
1
(New)
BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 2 CHUYÊN ĐỀ PHÉP NHÂN
1
2.826
494
Tài liệu, đề thi môn Toán
1
(New)
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 9 - Chương 3: Góc với đường...
22
1.138
360
Tài liệu, đề thi môn Toán
22
(New)
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 9 - Hệ thức lượng trong tam...
55
1.010
330
Tài liệu, đề thi môn Toán
55
(New)
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 9 - Một số tiêu chuẩn nhận...
18
1.017
346
Tài liệu, đề thi môn Toán
18
(New)
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 9 - Chùm bài tập về tiếp tu...
11
2.930
500
Tài liệu, đề thi môn Toán
11
(New)
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 9 - Những định lý hình học...
39
1.165
441
Tài liệu, đề thi môn Toán
39
(New)
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 9 - Chương 2 Hình Tròn
26
1.099
338
Tài liệu, đề thi môn Toán
26
(New)
thông tin tài liệu
Tài liệu gồm 35 trang, Tổng hợp lý thuyết và hướng dẫn giải các bài toán thuộc chuyên đề dãy số và giới hạn của dãy số ở các mức độ
Mở rộng để xem thêm
tài liệu mới trong mục này
Giải bài tập trang 144 SGK Hóa lớp 9: Mối liên hệ giữa etilen, rượu etylic và axit axetic
Giải bài tập Hóa lớp 9: Rượu etylic
Giải bài tập Hóa lớp 9: Khái niệm về hợp chất hữu cơ và hoá học hữu cơ
Tóm tắt lý thuyết Toán lớp 5: Giải toán về tỉ số phần trăm. Tìm giá trị phần trăm một số
Tóm tắt lý thuyết Toán lớp 5: Giải toán về tỉ số phần trăm. Tìm tỉ số phần trăm của hai số
tài liệu hot trong mục này
Ôn tập kiến thức môn Toán lớp 2 chuyên đề: Phép cộng có nhớ
Bộ đề thi giữa học kì 1 môn Toán lớp 2 theo Thông tư 22
Một số dạng bài tập về Phép cộng, trừ các số nguyên trong chương trình Toán lớp 6
Bài tập ôn tập cuối tuần lớp 2: Tuần 21
Lý thuyết và một số dạng bài tập về Lũy thừa với số mũ tự nhiên và các phép toán (Toán lớp 6)
tài liệu giúp tôi
Nếu bạn không tìm thấy tài liệu mình cần có thể gửi yêu cầu ở đây để chúng tôi tìm giúp bạn!
xem nhiều trong tuần
Giáo trình Quản trị học của Đại học kinh tế quốc dân
4 đề thi học sinh giỏi Toán lớp 2, có đáp án kèm theo
MẪU GIỚI THIỆU CHUYỂN SINH HOẠT HỘI
PHÂN TÍCH CHUỖI CUNG ỨNG CỦA COCA COLA VIỆT NAM
Địa lý 12 Phát triển cây công nghiệp lâu năm Tây Nguyên
IOE tiếng Anh lớp 10 lần 21 niên khóa 2016
yêu cầu tài liệu
Giúp bạn tìm tài liệu chưa có
×
