Home
Giáo dục đào tạo
Tài liệu, đề thi môn Toán
Đề thi và đáp án kì thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Thái Bình
Đề thi và đáp án kì thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Thái Bình
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
------------------
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017-2018
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4,0 điểm)
1) Cho hàm số:
21
1
x
yx
−
=+
có đồ thị là (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tổng
khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất.
2) Cho hàm số:
()
( )
3 22 2
2 6 33
y x m x m mx m= −+ − − +
có đồ thị là
( )
m
C
(
m
là tham số). Tìm
tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị
()
m
C
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ
123
x;x ;x
thỏa mãn:
() ( ) ( )
222
123
1 1 16
xxx
−+ −+−=
.
Câu 2. (4,0 điểm)
1) Cho (H) là đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O (
2
*
n N ,n∈≥
). Gọi S là tập hợp
các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác (H). Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập S,
biết rằng xác suất chọn được một tam giác vuông trong tập S là
1
13
. Tìm n.
2) Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc
[ ]
0 100;
π
của phương trình:
3 cos2 sin2 5sin cos 0
2cos 3
x x xx
x
− + −−
=
+
Câu 3. (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
2
2018
log 2017 2
x
x
y xm
= −− −
xác định
với mọi x thuộc
[
)
0;+∞
.
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a,
0
60ABC =
,
SA SB SC= =
,
2SD a=
. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại K.
1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
2) Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích
12
V ;V
trong đó 1
V
là
thể tích khối đa diện chứa đỉnh S. Tính
1
2
V
V
.
3) Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của K trên SC và SA. Tính diện tích mặt cầu
ngoại tiếp khối chóp K.ACMN.
Câu 5. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:
( )
33 22
22
3 2 2 15 10 0
5 3 3 6 13 0
xy xy y x
xy y x y
−− −+ + −=
+−+ − − + =
Câu 6. (2,0 điểm)
Cho
a,b,c,d
là các số thực không âm và có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =
( )( )
2 2 22 2 2 2 2
11a b ab c d cd+++ ++ +
HẾT
Họ và tên thí sinh:............................................................... SBD:...................
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
------------------
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017-2018
----------------------------------------------------------------------------------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
MÔN TOÁN
(Gồm 05 trang)
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
Câu 1.
(4 điểm)
1.
(2 điểm)
Cho hàm số:
21
1
x
yx
−
=+
có đồ thị là (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho
tổng khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có:
lim 2; lim 2
xx
yy
→+∞ →−∞
= =
nên y=2 là đường tiệm cận ngang
11
lim ; lim
xx
yy
+−
→− →−
= −∞ = +∞
nên x=-1 là đường tiệm cận đứng
0,5
Giả sử điểm
( )
0
00
0
21
; ;1
1
x
Mx Cx
x
−∈ ≠−
+
()
0
,
1
M TCD
dx= +
;
( )
,0
3
1
M TCN
dx
=+
0,5
Suy ra:
( ) ( )
0
,, 0
3
1 23
1
M TCD M TCN
dd x
x
+ = ++ ≥
+
0,5
Dấu bằng xảy ra khi
( )
( )
0
0
31
31
x tm
x tm
= −
=−−
.Các điểm M cần tìm:
( )
()
3 1; 2 3
3 1; 2 3
M
M
= −−
=−−+
0,5
2.
(2 điểm) Cho hàm số:
( )
( )
3 22 2
2 6 33y x m x m mx m= −+ − − +
có đồ thị là
( )
m
C
(
m
là tham
số). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị
( )
m
C
cắt trục hoành tại ba điểm phân
biệt có hoành độ
123
x;x ;x
thỏa mãn:
() ( ) ( )
222
123
1 1 16xxx−+ −+−=
.
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
( )
()
( )
3 22 2
2 6 3 3 01
x m x m mx m−+ − − + =
()
( )
22
32 0
x x mx m
⇔− − − =
0,5
3
2
x
xm
m
x
=
⇔=
−
=
Để đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 3
nghiệm phân biệt
3
0
6
m
m
m
≠
⇔≠
≠−
0,5
Khi đó:
( ) ( ) ( ) ()
( )
222
123
0
1 1 16 4
5
m loai
xxx m tm
=
−+ −+−=⇔
=
Vậy
4
5
m=
1,0
2
CÂU
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Câu 2.
(4 điểm)
1.
(2 điểm)
Cho (H) là đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O (
2
*
n N ,n
∈≥
). Gọi S là tập
hợp các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác (H). Chọn ngẫu nhiên một tam giác
thuộc tập S, biết rằng xác suất chọn được một tam giác vuông trong tập S là
1
13
. Tìm n.
Số phần tử của tập hợp S là:
3
2n
C
Số phần tử không gian mẫu:
()
3
2n
nC
=
Ω
0,5
Gọi A là biến cố: “ Chọn được tam giác vuông”
Đa giác đều 2n đỉnh có n đường chéo qua tâm O.
Mỗi tam giác vuông được tạo bởi hai đỉnh nằm trên cùng một đường chéo qua tâm O
và một đỉnh trong 2n-2 đỉnh còn lại .
⇒
Số tam giác vuông được tạo thành:
11
22
.
nn
CC−
1,0
Theo bài ra ta có:
( )
11
22
3
2
.120
13
nn
n
CC
PA n
C
−
= = ⇔=
0,5
2.
(2 điểm)
Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc
[ ]
0 100;
π
của phương trình:
3 cos2x+sin2x-5sinx-cosx 0
2cosx+ 3
−=
Điều kiện:
3
osx 2
c−
≠
0,25
( )( )
2
3-cos2x+sin2x-5sinx-cosx=0
2sin x-5sinx+2+2sinx.cosx-cosx 0
2sin 1 0
2sin 1 sinx+cosx-2 0 sinx+cosx-2=0
x
x
⇔=
−=
⇔− =⇔
0,5
sin cos 2 0xx+ −=
(phương trình vô nghiệm)
0,25
( )
2
6
2sin 1 0 52
6
xk
x kZ
xk
π
=+π
−= ⇔ ∈
π
= +π
Đối chiếu điều kiện nghiệm phương trình là:
2,
6
x k kZ
π
=+ π∈
0,5
[ ]
0;100 0 2 100 0 49,
6
x k k kZ
π
∈ π⇒≤ + π≤ π⇒≤≤ ∈
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là:
50 7375
2 4 ... 98 98 .
6 6 6 6 66 2 3
π π π π ππ
++π++π+++π=++π = π
0,5
Câu 3.
(2 điểm)
Hàm số xác định với mọi x thuộc [0;+∞) khi và chỉ khi
[
)
[
)( )
22
2017 0, 0; 2017 , 0; *
22
xx
xx
x m x x mx−−−>∀∈+∞⇔ −− >∀∈+∞
0,5
Xét hàm số:
2
( ) 2017 2
x
x
fx x= −−
trên
[
)
0;+∞
. Hàm số liên tục trên
[
)
0;
+∞
'( ) 2017 .ln 2017 1
x
fx x= −−
và liên tục trên [0;+∞)
( )
[
)
2
''( ) 2017 . ln 2017 1 0, 0;
x
fx x= − > ∀ ∈ +∞
( )
'fx⇒
đồng biến trên
[
)
0;+∞
( ) ( )
' ' 0 ln 2017 1 0,fx f⇒ ≥ = −>
[
)
0;x∀ ∈ +∞
()fx⇒
là hàm số đồng biến trên
[
)
0;+∞
[
)
( )
0;
min 1fx
+∞
⇒=
1,0
Bất phương trình (*)
( )
[
)
[
)
( )
0;
, 0; min 1fx m x fx m m
+∞
⇔ >∀∈+∞⇔ >⇔<
0.5
3
CÂU
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Câu 4.
(6,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a,
0
60ABC =
,
2SA SB SC;SD a= = =
. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại K.
1) Tính khoảng cách từ A đến (SCD)
2) Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành 2 phần có thể tích
12
V ;V
trong
đó 1
V
là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S. Tính
1
2
V
V
3) Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của K trên SC và SA. Tính diện
tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp K.ACMN.
H
O
D
A
B
C
S
E
K
N
M
1.
(2 điểm) Tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Gọi H là trọng tâm
ABC
∆
. Chứng minh
( )
SH ABCD⊥
và tính được
26
3
a
SH =
1,0
Lập luận được
( )
( )
( )
( )
,,
3
2
A SCD H SCD
dd=
0,25
Tính được
()
( )
,
26
9
H SCD
a
d=
0,5
Suy ra
( )
()
,
6
3
A SCD
a
d=
0,25
2.
(2 điểm) Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành 2 phần có thể tích
12
V ;V
trong đó
1
V
là
thể tích khối đa diện chứa đỉnh S. Tính
1
2
V
V
Trong mặt phẳng (SAB), dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với SB tại K.
Chứng minh
( )
AKC SB⊥
. Suy ra (P) là mặt phẳng (AKC)
Tính được
35
3; 66
a SK
SB a BK SB
= = ⇒=
1,0
2
1
1
2
5 55 1
6 6 12 12
11 11
12
SAKC SAKC SABC SABCD SABCD
SABC
SABCD
VSK V V V VV
V SB
V
VV V
⇒ = =⇒ = = ⇒=
⇒= ⇒ =
1,0
4
CÂU
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
3.
(2 điểm) Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của K trên SC và SA. Tính diện tích
mặt cầu ngoại tiếp khối chóp K.ACMN.
Trong mặt phẳng (AKC) dựng
1
d
là đường trung trực của đoạn AK;
2
d
là đường
trung trực của đoạn KC,
1
d
cắt
2
d
tại điểm I.
Chứng minh được I cách đều 5 đỉnh của hình chóp K.ACMN
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp K.ACMN. Do đó bán kính mặt cầu bằng
bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC
d
2
d
1
K
C
A
S
I
M
N
1,0
Tính được
33
6
a
KA KC= =
Diện tích tam giác KAC:
2
6
6
KAC
a
S=
Bán kính mặt cầu là :
. . 11 6
4 48
KAC
KA KC AC a
RS
= =
Diện tích mặt cầu:
2
2121
496
mc
a
SRπ
=π=
1,0
Câu 5.
(2,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
()
()
( )
33 22
22
3 2 2 15 10 0 1
5 3 3 6 13 0 2
xy xy y x
xy y x y
−− −+ + −=
+−+ − − + =
Điều kiện:
2
2
50
0
3 6 13 0
xy
y
xy
+−≥
≥
− +≥
Biến đổi phương trình (1)
() ( ) ( ) ( )
33
23 2 13 1x xy y
⇔− + −=− + −
Phương trình có dạng:
( ) ( )
21fx fy−= −
với
( )
3
3,f t t tt R=+∈
( )
2
' 3 3 0,
ft t tR= +> ∈
nên hàm số
( )
ft
đồng biến trên R
Do đó:
( ) ( )
2 1 21 1fx fy x y y x− = − ⇔ − = −⇔ = −
0,5
Thay vào phương trình (2) ta được:
( )
22
6 3 1 3 6 19 0 3xx x x x+− + −− − + =
Điều kiện:
2x≥
0,25
5
CÂU
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Khi đó phương trình
()
22
3 6 3 1 3 6 19xx x x x⇔ +−+ −= − +
22
3 1 6 8 17
x xx x x⇔ − +−= − +
0,25
( )
( )
22
22
2
2
3 2 23 2310 2
22
10 3 1 0
23 23
21
2 35
21
232
x xx xx x
xx
xx xx
x
xx
x( vn )
xx
⇔ − +−= +−− −
−−
⇔ + −=
+− +−
−=
+−
⇔−−
=
+−
0,5
( )
( )
2
2
23 341
21 2
23 47 0
2 35 23 341
2
x tm
xxx
xx x tm
+
=
−
=⇔− +=⇔
+− −
=
Suy ra nghiệm của hệ phương trình là:
23 341
2
21 341
2
x
y
+
=
+
=
hoặc
23 341
2
21 341
2
x
y
−
=
−
=
0,5
Câu 6.
(2,0 điểm)
Cho
a,b,c,d
là các số thực không âm và có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P=
( )( )
2 2 22 2 2 2 2
11a b ab c d cd+++ ++ +
()( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
222 2
222 2
1111
ln ln 1 ln 1 ln 1 ln 1
Pabcd
Pabcd
=++++
⇒=+++++++
Chứng minh được bất đẳng thức:
( )
[ ]
( )
28 2 17
ln 1 ln , 0;1 *
17 17 16
tt t+ ≥ − + ∀∈
1,0
Áp dụng (*) ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
222 2
4
8 8 17
ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 4ln
17 17 16
17 17
ln 4ln 16 16
a b c d abcd
PP
+++++++≥ +++−+
⇔ ≥ ⇔≥
Dấu bằng xảy ra khi
1
4
abcd= = = =
Vậy
4
17
min 16
P
=
1,0
Lưu ý:
- Trên đây là hướng dẫn chấm bao gồm các bước giải cơ bản, học sinh phải trình bày đầy đủ,
hợp logic mới cho điểm.
- Mọi cách giải khác đúng đều được điểm tối đa.
- Điểm toàn bài không làm tròn.
- Câu 4 nếu không có hình vẽ không chấm điểm.
có thể bạn quan tâm
Tiếng Anh lớp 3 - Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường, trường Tiểu họ...
2
1.907
519
Tiếng Anh trẻ em
2
(New)
Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Bình...
8
931
296
Tài liệu, đề thi môn Toán
8
(New)
Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 9 THCS năm học 2016-2017 sở GD và...
6
1.067
319
Tài liệu, đề thi môn Toán
6
(New)
Bộ đề thi thử THPT Môn Sinh học trường ĐH Y dược Thái Bình
12
880
391
Tài liệu, đề thi THPT các trường
12
(New)
Đề thi học sinh giỏi Vật lý Lớp 9 Kỳ thi HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ H...
3
1.459
411
Tài liệu, đề thi học sinh giỏi
3
(New)
Đề thi HK1 Toán 8 năm học 2017 – 2018 phòng GD và ĐT thành phố Ninh Bì...
4
687
302
Tài liệu, đề thi môn Toán
4
(New)
Gợi ý đáp án ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VẬT LÝ LỚP 9 TP. HỒ CHÍ MINH 2017-20...
6
2.545
623
Tài liệu, đề thi Vật Lý
6
(New)
Đề thi TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2018 môn Sinh học - trường THP...
5
879
361
Tài liệu, đề thi THPT các trường
5
(New)
thông tin tài liệu
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Thái Bình gồm 1 trang với 6 bài toán tự luận, đề thi có lời giải chi tiết và thang điểm.
Mở rộng để xem thêm
tài liệu mới trong mục này
Giải bài tập trang 144 SGK Hóa lớp 9: Mối liên hệ giữa etilen, rượu etylic và axit axetic
Giải bài tập Hóa lớp 9: Rượu etylic
Giải bài tập Hóa lớp 9: Khái niệm về hợp chất hữu cơ và hoá học hữu cơ
Tóm tắt lý thuyết Toán lớp 5: Giải toán về tỉ số phần trăm. Tìm giá trị phần trăm một số
Tóm tắt lý thuyết Toán lớp 5: Giải toán về tỉ số phần trăm. Tìm tỉ số phần trăm của hai số
tài liệu hot trong mục này
Ôn tập kiến thức môn Toán lớp 2 chuyên đề: Phép cộng có nhớ
Bộ đề thi giữa học kì 1 môn Toán lớp 2 theo Thông tư 22
Một số dạng bài tập về Phép cộng, trừ các số nguyên trong chương trình Toán lớp 6
Bài tập ôn tập cuối tuần lớp 2: Tuần 21
Lý thuyết và một số dạng bài tập về Lũy thừa với số mũ tự nhiên và các phép toán (Toán lớp 6)
tài liệu giúp tôi
Nếu bạn không tìm thấy tài liệu mình cần có thể gửi yêu cầu ở đây để chúng tôi tìm giúp bạn!
xem nhiều trong tuần
70 câu hỏi trắc nghiệm luyện thi chứng chỉ tin A
Đề tài nghiên cứu thực trạng thất nghiệp tại Việt Nam
Giáo trình Quản trị học của Đại học kinh tế quốc dân
Đà Nẵng: Thiếu nhất quán trong công tác quy hoạch đô thị
Bài tập ôn tập cuối tuần lớp 2: Tuần 21
4 đề thi học sinh giỏi Toán lớp 2, có đáp án kèm theo
yêu cầu tài liệu
Giúp bạn tìm tài liệu chưa có
×
