Home
Giáo dục đào tạo
Tài liệu, đề thi môn Toán
LÝ THUYẾT VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG (TOÁN 6)
LÝ THUYẾT VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG (TOÁN 6)
LÝ THUYẾT VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ SỐ
CHÍNH PHƯƠNG (TOÁN 6)
I. ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số
nguyên.
II. TÍNH CHẤT:
1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể
có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số
nguyên tố với số mũ chẵn.
3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số
chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n
N).
4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số
chính phương nào có dạng 3n + 2 (n
N).
5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2
Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A. DẠNG 1 : CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t
Z) thì
A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
V ì x, y, z
Z nên x2
Z, 5xy
Z, 5y2
Z
x2 + 5xy + 5y2
Z
Vậy A là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính
phương.
Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n
N). Ta có
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1
= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n2 + 3n = t (t
N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2
= (n2 + 3n + 1)2
Vì n
N nên n2 + 3n + 1
N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính
phương.
Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .
Ta có k(k+1)(k+2) =
4
1
k(k+1)(k+2).4 =
4
1
k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]
=
4
1
k(k+1)(k+2)(k+3) -
4
1
k(k+1)(k+2)(k-1)
S =
4
1
.1.2.3.4 -
4
1
.0.1.2.3 +
4
1
.2.3.4.5 -
4
1
.1.2.3.4 +…+
4
1
k(k+1)(k+2)(k+3) -
4
1
k(k+1)(k+2)(k-1) =
4
1
k(k+1)(k+2)(k+3)
4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1
Theo kết quả bài 2
k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính phương.
Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …
Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước
nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.
Ta có 44…488…89 = 44…488..8 + 1 = 44…4 . 10n + 8 . 11…1 + 1
n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1
= 4.
9
110
n
. 10n + 8.
9
110
n
+ 1
=
9
9810.810.410.4
2
nnn
=
9
110.410.4
2
nn
=
3
110.2
n
2
Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3
n-1 chữ số 0
3
110.2
n
Z hay các số có dạng 44…488…89 là số chính phương.
Bài 5: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương:
A = 11…1 + 44…4 + 1
2n chữ số 1 n chữ số 4
B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 8
2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6
C = 44…4 + 22…2 + 88…8 + 7
2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8
Kết quả: A =
3
210
n
; B =
3
810
n
; C =
3
710.2
n
Bài 6: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương:
a. A = 22499…9100…09
n-2 chữ số 9 n chữ số 0
b. B = 11…155…56
n chữ số 1 n-1 chữ số 5
a. A = 224.102n + 99…9.10n+2 + 10n+1 + 9
= 224.102n + ( 10n-2 – 1 ) . 10n+2 + 10n+1 + 9
= 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + 9
= 225.102n – 90.10n + 9
2
2
2
2
= ( 15.10n – 3 ) 2
A là số chính phương
b. B = 111…1555…5 + 1 = 11…1.10n + 5.11…1 + 1
n chữ số 1 n chữ số 5 n chữ số 1 n chữ số 1
=
9
110
n
. 10n + 5.
9
110
n
+ 1 =
9
9510.51010
2
nnn
=
9
410.410
2
nn
=
3
210
n
là số chính phương (điều phải chứng minh)
Bài 7: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không
thể là một số chính phương
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n
N , n ≥2 ).
Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2)
Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2+2 không thẻ chia hết cho 5
5.( n2+2) không là số chính phương hay A không là số chính phương
Bài 8: Chứng minh rằng số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n
N và n>1
không phải là số chính phương
n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ]
= n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ]
= n2( n+1 )2.( n2–2n+2)
Với n
N, n >1 thì n2-2n+2 = (n - 1)2 + 1 > ( n – 1 )2
và n2 – 2n + 2 = n2 – 2(n - 1) < n2
Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + 2 < n2
n2 – 2n + 2 không phải là một số chính phương.
Bài 9: Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số
hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính
phương đó là một số chính phương
Cách 1: Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng
chục của nó là số lẻ. Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là
1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương
2
Cách 2: Nếu một số chính phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số
tận cùng của a là 4 hoặc 6
a
2
a2
4
Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của M chỉ có thể là 16, 36,
56, 76, 96
Ta có: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương.
Bài 10: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là
một số chính phương.
a và b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m
N)
a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1
= 4(k2 + k + m2 + m) + 2 = 4t + 2 (Với t
N)
Không có số chính phương nào có dạng 4t + 2 (t
N) do đó a2 + b2 không thể là
số chính phương.
Bài 11: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1
không thể là các số chính phương.
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p
2 và p không chia hết cho 4 (1)
a. Giả sử p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m2 (m
N)
Vì p chẵn nên p+1 lẻ
m2 lẻ
m lẻ.
Đặt m = 2k+1 (k
N). Ta có m2 = 4k2 + 4k + 1
p+1 = 4k2 + 4k + 1
p = 4k2 + 4k = 4k(k+1)
4 mâu thuẫn với (1)
p+1 là số chính phương
b. p = 2.3.5… là số chia hết cho 3
p-1 có dạng 3k+2.
Không có số chính phương nào có dạng 3k+2
p-1 không là số chính phương .
Vậy nếu p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương
Bài 12: Giả sử N = 1.3.5.7…2007.
Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào
là số chính phương.
a. 2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 – 1
Có 2N
3
2N-1 không chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2 (k
N)
2N-1 không là số chính phương.
b. 2N = 2.1.3.5.7…2007
Vì N lẻ
N không chia hết cho 2 và 2N
2 nhưng 2N không chia hết cho 4.
2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1
2N không là số chính phương.
c. 2N+1 = 2.1.3.5.7…2007 + 1
2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 4
2N không chia hết cho 4 nên 2N+1 không chia cho 4 dư 1
2N+1 không là số chính phương.
Bài 13: Cho a = 11…1 ; b = 100…05
2008 chữ số 1 2007 chữ số 0
Chứng minh
1ab
là số tự nhiên.
Cách 1: Ta có a = 11…1 =
9
110
2008
; b = 100…05 = 100…0 + 5 = 102008 + 5
2008 chữ số 1 2007 chữ số 0 2008 chữ số 0
ab+1 =
9
)510)(110(
20082008
+ 1 =
9
9510.4)10(
200822008
=
3
210
2008
1ab
=
3
210
2008
=
3
210
2008
Ta thấy 102008 + 2 = 100…02
3 nên
3
210
2008
N hay
1ab
là số tự nhiên.
2007 chữ số 0
Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – 1 + 6 = 99…9 + 6 = 9a +6
2007 chữ số 0 2008 chữ số 0 2008 chữ số 9
ab+1 = a(9a +6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a+1)2
1ab
=
2
)13( a
= 3a + 1
N
B. DẠNG 2 : TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:
a. n2 + 2n + 12 b. n ( n+3 )
c. 13n + 3 d. n2 + n + 1589
Giải
a. Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k
N)
(n2 + 2n + 1) + 11 = k2
k2 – (n+1)2 = 11
(k+n+1)(k-n-1) = 11
Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể
viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1
k+n+1 = 11
k = 6
k – n - 1 = 1 n = 4
2
2
có thể bạn quan tâm
LUẬN VĂN: THỰC TRẠNG HOẠT ĐỘNG THUÊ MUA TÀI CHÍNH, CHẾ ĐỘ TÀI CHÍNH KẾ...
50
785
306
Kinh tế quản lý
50
(New)
Luận văn:Phương hướng và giải pháp hoàn thiện quy trình xác định giá t...
125
699
307
Kinh tế quản lý
125
(New)
Phương pháp điều chỉnh giảm lỗ sau khi quyết toán thuế
3
735
296
Kế toán, kiểm toán
3
(New)
Hệ thống lý thuyết và giải bài tập Toán lớp 8: Phân tích đa thức thành...
3
874
323
Tài liệu, đề thi môn Toán
3
(New)
TIỂU LUẬN CÁ NHÂN – LÝ THUYẾT TÀI CHÍNH TIỀN TỆ- KHỦNG HOẢNG TÀI CHÍNH...
25
2.560
614
Kinh tế - Thương mại
25
(New)
Thực trạng về gian lận và sai sót trên Báo cáo tài chính , phương hướn...
118
820
313
Kinh tế quản lý
118
(New)
NGỮ VĂN : PHƯƠNG PHÁP THUYẾT MINH
2
695
320
Giáo án, bài giảng lớp 8
2
(New)
Tóm tắt lý thuyết và hướng dẫn giải bài tập Vật lý lớp 11 bài 2: Thuyế...
4
688
328
Giải bài tập các môn
4
(New)
thông tin tài liệu
I. ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.
II. TÍNH CHẤT:
1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N).
4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n N).
5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2
Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
Mở rộng để xem thêm
tài liệu mới trong mục này
Giải bài tập trang 144 SGK Hóa lớp 9: Mối liên hệ giữa etilen, rượu etylic và axit axetic
Giải bài tập Hóa lớp 9: Rượu etylic
Giải bài tập Hóa lớp 9: Khái niệm về hợp chất hữu cơ và hoá học hữu cơ
Tóm tắt lý thuyết Toán lớp 5: Giải toán về tỉ số phần trăm. Tìm giá trị phần trăm một số
Tóm tắt lý thuyết Toán lớp 5: Giải toán về tỉ số phần trăm. Tìm tỉ số phần trăm của hai số
tài liệu hot trong mục này
Ôn tập kiến thức môn Toán lớp 2 chuyên đề: Phép cộng có nhớ
Bộ đề thi giữa học kì 1 môn Toán lớp 2 theo Thông tư 22
Một số dạng bài tập về Phép cộng, trừ các số nguyên trong chương trình Toán lớp 6
Bài tập ôn tập cuối tuần lớp 2: Tuần 21
Lý thuyết và một số dạng bài tập về Lũy thừa với số mũ tự nhiên và các phép toán (Toán lớp 6)
tài liệu giúp tôi
Nếu bạn không tìm thấy tài liệu mình cần có thể gửi yêu cầu ở đây để chúng tôi tìm giúp bạn!
xem nhiều trong tuần
Giáo trình Quản trị học của Đại học kinh tế quốc dân
4 đề thi học sinh giỏi Toán lớp 2, có đáp án kèm theo
BIỂU MẪU ĐỀ NGHỊ NHẬP KHẨU THUỐC CHƯA CÓ GIẤY ĐĂNG KÝ LƯU HÀNH THUỐC TẠI VIỆT NAM KHÔNG VÌ MỤC ĐÍCH THƯƠNG MẠI
Hướng dẫn tự học Access
Sinh học 11 mạch gỗ và mạch rây của cây
Mẫu slide chủ đề âm nhạc
yêu cầu tài liệu
Giúp bạn tìm tài liệu chưa có
×
