Home
Giáo dục đào tạo
Tài liệu, đề thi môn Toán
Một số bài toán nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9
Một số bài toán nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
Một số bài tập toán nâng cao
LỚP 9
1
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
PHẦN I: ĐỀ BÀI
1. Chứng minh
7
là số vô tỉ.
2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.
4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy :
a b ab
2
.
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
bc ca ab a b c
a b c
c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.
6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.
7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng :
a b a b
9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a
b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
10. Chứng minh các bất đẳng thức :
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
11. Tìm các giá trị của x sao cho :
a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5 c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.
12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm
giá trị nhỏ nhất đó.
14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.
15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :
x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0
16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
2
1
Ax 4x 9
17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) :
a)
7 15 và 7
b)
17 5 1 và 45
c)
23 2 19 và 27
3
d)
3 2 và 2 3
18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn
2
nhưng nhỏ hơn
3
19. Giải phương trình :
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 21 5 2x x
.
20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.
21. Cho
1 1 1 1
S .... ...
1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1
.
Hãy so sánh S và
1998
2.1999
.
22. Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì
a
là số vô tỉ.
23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng :
a)
x y 2
y x
b)
2 2
2 2
x y x y 0
y x y x
c)
4 4 2 2
4 4 2 2
x y x y x y 2
y x y x y x
.
2
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ :
a)
1 2
b)
3
mn
với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ 0.
25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ?
26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng :
2 2
2 2
x y x y
4 3
y x y x
.
27. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng :
2 2 2
2 2 2
x y z x y z
y z x y z x
.
28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.
29. Chứng minh các bất đẳng thức :
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
c) (a1 + a2 + ….. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + ….. + an2).
30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.
31. Chứng minh rằng :
x y x y
.
32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
2
1
Ax 6x 17
.
33. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
x y z
Ay z x
với x, y, z > 0.
34. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4.
35. Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1.
36. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu :
a) ab và
a
b
là số vô tỉ.
b) a + b và
a
b
là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh :
a b c d 2
b c c d d a a b
39. Chứng minh rằng
2x
bằng
2 x
hoặc
2 x 1
40. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n. Chứng minh rằng
trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96.
41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :
2
2 2
1 1 1 2
A= x 3 B C D E x 2x
x
x 4x 5 1 x 3
x 2x 1
2
G 3x 1 5x 3 x x 1
42. a) Chứng minh rằng : | A + B | ≤ | A | + | B | . Dấu “ = ” xảy ra khi nào ?
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
2 2
M x 4x 4 x 6x 9
.
c) Giải phương trình :
2 2 2
4x 20x 25 x 8x 16 x 18x 81
43. Giải phương trình :
2 2
2x 8x 3 x 4x 5 12
.
44. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :
2 2
2
1 1
A x x 2 B C 2 1 9x D
1 3x x 5x 6
3
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
2 2
2
1 x
E G x 2 H x 2x 3 3 1 x
x 4
2x 1 x
45. Giải phương trình :
2
x 3x 0
x 3
46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A x x
.
47. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
B 3 x x
48. So sánh : a)
3 1
a 2 3 và b= 2
b)
5 13 4 3 và 3 1
c)
n 2 n 1 và n+1 n
(n là số nguyên dương)
49. Với giá trị nào của x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất :
2 2
A 1 1 6x 9x (3x 1)
.
50. Tính :
a) 4 2 3 b) 11 6 2 c) 27 10 2
2 2
d) A m 8m 16 m 8m 16 e) B n 2 n 1 n 2 n 1
(n ≥ 1)
51. Rút gọn biểu thức :
8 41
M45 4 41 45 4 41
.
52. Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức :
2 2 2
(2x y) (y 2) (x y z) 0
53. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
2 2
P 25x 20x 4 25x 30x 9
.
54. Giải các phương trình sau :
2 2 2 2 2
a) x x 2 x 2 0 b) x 1 1 x c) x x x x 2 0
4 2 2
d) x x 2x 1 1 e) x 4x 4 x 4 0 g) x 2 x 3 5
2 2 2
h) x 2x 1 x 6x 9 1 i) x 5 2 x x 25
k) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1 l) 8x 1 3x 5 7x 4 2x 2
55. Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = 1 và x > y. CMR:
2 2
x y 2 2
x y
.
56. Rút gọn các biểu thức :
a) 13 30 2 9 4 2 b) m 2 m 1 m 2 m 1
c) 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3 d) 227 30 2 123 22 2
5
7. Chứng minh rằng
6 2
2 3 2 2
.
58. Rút gọn các biểu thức :
6 2 6 3 2 6 2 6 3 2 9 6 2 6
a) C b) D
2 3
.
59. So sánh :
a) 6 20 và 1+ 6 b) 17 12 2 và 2 1 c) 28 16 3 và 3 2
60. Cho biểu thức :
2
A x x 4x 4
a) Tìm tập xác định của biểu thức A.
b) Rút gọn biểu thức A.
61. Rút gọn các biểu thức sau :
a) 11 2 10 b) 9 2 14
4
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
3 11 6 2 5 2 6
c) 2 6 2 5 7 2 10
62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức :
2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
63. Giải bất phương trình :
2
x 16x 60 x 6
.
64. Tìm x sao cho :
2 2
x 3 3 x
.
65. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng :
x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1)
66. Tìm x để biểu thức có nghĩa:
2
2
1 16 x
a) A b) B x 8x 8
2x 1
x 2x 1
.
67. Cho biểu thức :
2 2
2 2
x x 2x x x 2x
Ax x 2x x x 2x
.
a) Tìm giá trị của x để biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A < 2.
68. Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số :
0,9999....9
(20 chữ số 9)
69. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của : A = | x -
2
| + | y – 1 | với | x | + | y | = 5
70. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1
71. Trong hai số :
n n 2 và 2 n+1
(n là số nguyên dương), số nào lớn hơn ?
72. Cho biểu thức
A 7 4 3 7 4 3
. Tính giá trị của A theo hai cách.
73. Tính :
( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)
74. Chứng minh các số sau là số vô tỉ :
3 5 ; 3 2 ; 2 2 3
75. Hãy so sánh hai số :
a 3 3 3 và b=2 2 1
;
5 1
2 5 và 2
76. So sánh
4 7 4 7 2
và số 0.
77. Rút gọn biểu thức :
2 3 6 8 4
Q234
.
78. Cho
P 14 40 56 140
. Hãy biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức bậc hai
79. Tính giá trị của biểu thức x2 + y2 biết rằng :
2 2
x 1 y y 1 x 1
.
80. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của :
A 1 x 1 x
.
81. Tìm giá trị lớn nhất của :
2
M a b
với a, b > 0 và a + b ≤ 1.
82. CMR trong các số
2b c 2 ad ; 2c d 2 ab ; 2d a 2 bc ; 2a b 2 cd
có ít nhất hai
số dương (a, b, c, d > 0).
83. Rút gọn biểu thức :
N 4 6 8 3 4 2 18
.
84. Cho
x y z xy yz zx
, trong đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z.
85. Cho a1, a2, …, an > 0 và a1a2…an = 1. Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n.
86. Chứng minh :
2
a b 2 2(a b) ab
(a, b ≥ 0).
87. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn
thẳng có độ dài
a , b , c
cũng lập được thành một tam giác.
5
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU
88. Rút gọn : a)
2
ab b a
Ab b
b)
2
(x 2) 8x
B2
xx
.
89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều có :
2
2
a 2 2
a 1
. Khi nào có đẳng thức ?
90. Tính :
A 3 5 3 5
bằng hai cách.
91. So sánh : a)
3 7 5 2 và 6,9 b) 13 12 và 7 6
5
92. Tính :
2 3 2 3
P2 2 3 2 2 3
.
93. Giải phương trình :
x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2
.
94. Chứng minh rằng ta luôn có :
n
1.3.5...(2n 1) 1
P2.4.6...2n 2n 1
; n Z+
95. Chứng minh rằng nếu a, b > 0 thì
2 2
a b
a b b a
.
96. Rút gọn biểu thức : A =
2
x 4(x 1) x 4(x 1) 1
. 1 x 1
x 4(x 1)
.
97. Chứng minh các đẳng thức sau :
a b b a 1
a) : a b
ab a b
(a, b > 0 ; a ≠ b)
14 7 15 5 1 a a a a
b) : 2 c) 1 1 1 a
1 2 1 3 7 5 a 1 a 1
(a > 0).
98. Tính :
a) 5 3 29 6 20 ; b) 2 3 5 13 48
.
c) 7 48 28 16 3 . 7 48
.
99. So sánh :
a) 3 5 và 15 b) 2 15 và 12 7
16
c) 18 19 và 9 d) và 5. 25
2
100. Cho hằng đẳng thức :
2 2
a a b a a b
a b 2 2
(a, b > 0 và a2 – b > 0).
Áp dụng kết quả để rút gọn :
2 3 2 3 3 2 2 3 2 2
a) ; b)
2 2 3 2 2 3 17 12 2 17 12 2
2 10 30 2 2 6 2
c) :
2 10 2 2 3 1
101. Xác định giá trị các biểu thức sau :
2 2
2 2
xy x 1. y 1
a) A xy x 1. y 1
với
1 1 1 1
x a , y b
2 a 2 b
(a > 1 ; b > 1)
6
có thể bạn quan tâm
Toán nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 2: Bài toán về nhiều hơ...
4
7.706
699
Tài liệu, đề thi môn Toán
4
(New)
Bài tập toán nâng cao lớp 2 bồi dưỡng học sinh giỏi có đáp án kèm the...
3
2.451
422
Tài liệu, đề thi môn Toán
3
(New)
Bài toán nâng cao bồi dưỡng học sinh năng khiếu Toán 2: Một số bài toá...
4
1.392
348
Tài liệu, đề thi môn Toán
4
(New)
Bài tập bồi dưỡng học sinh năng khiếu Toán 2: Ôn tập về hình học, đo l...
5
1.056
372
Tài liệu, đề thi môn Toán
5
(New)
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 2 - Có đáp án
3
2.376
444
Tài liệu, đề thi học sinh giỏi
3
(New)
78 Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 2
16
6.198
1.071
Tài liệu, đề thi học sinh giỏi
16
(New)
Đề thi bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
48
947
414
Tài liệu, đề thi môn Toán
48
(New)
Đề thi thử bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 2
3
1.400
419
Tài liệu, đề thi môn Toán
3
(New)
thông tin tài liệu
Tài liệu gồm 43 trang tổng hợp kiến thức và các dạng bài toán nâng cao dùng để bồi dưỡng cho học sinh giỏi Toán lớp 9
Mở rộng để xem thêm
tài liệu mới trong mục này
Giải bài tập trang 144 SGK Hóa lớp 9: Mối liên hệ giữa etilen, rượu etylic và axit axetic
Giải bài tập Hóa lớp 9: Rượu etylic
Giải bài tập Hóa lớp 9: Khái niệm về hợp chất hữu cơ và hoá học hữu cơ
Tóm tắt lý thuyết Toán lớp 5: Giải toán về tỉ số phần trăm. Tìm giá trị phần trăm một số
Tóm tắt lý thuyết Toán lớp 5: Giải toán về tỉ số phần trăm. Tìm tỉ số phần trăm của hai số
tài liệu hot trong mục này
Ôn tập kiến thức môn Toán lớp 2 chuyên đề: Phép cộng có nhớ
Bộ đề thi giữa học kì 1 môn Toán lớp 2 theo Thông tư 22
Một số dạng bài tập về Phép cộng, trừ các số nguyên trong chương trình Toán lớp 6
Bài tập ôn tập cuối tuần lớp 2: Tuần 21
Lý thuyết và một số dạng bài tập về Lũy thừa với số mũ tự nhiên và các phép toán (Toán lớp 6)
tài liệu giúp tôi
Nếu bạn không tìm thấy tài liệu mình cần có thể gửi yêu cầu ở đây để chúng tôi tìm giúp bạn!
×
