Tham khảo giáo trình xác suất thống kê dành cho SV
Ch ’u ’ong 1
NH ˜
’
UNG KH ´
AI NIˆ
E
.M C ’
O B ’
AN V `
ˆ
E X ´
AC SU ´
ˆ
AT
1. B’
ˆ
O T ´
UC V `
ˆ
E GI ’
AI T´
ICH T ’
ˆ
O H ’
O
.P
1.1 Qui t´
˘
ac nhˆan
Gi ’
a s ’
’
u mˆo
.t cˆong viˆe
.c n`ao ¯d´o ¯d ’
u’
o
.c chia th`anh k giai ¯doa
.n. C´o n1c´ach th ’
u
.c hiˆe
.n giai
¯doa
.n th´
’
u nh ´
ˆat, n2c´ach th ’
u
.c hiˆe
.n giai ¯doa
.n th´
’
u hai,...,nkc´ach th ’
u
.c hiˆe
.n giai ¯doa
.n th´
’
u
k. Khi ¯d´o ta c´o
n=n1.n2. . . nk
c´ach th ’
u
.c hiˆe
.n cˆong viˆe
.c.
•V´ı du
.1Gi ’
a s ’
’
u ¯d ’
ˆe ¯di t`
’
u A ¯d ´
ˆen C ta b´
˘
at buˆo
.c ph ’
ai ¯di qua ¯di ’
ˆem B. C´o 3 ¯d ’
u`
’
ong kh´ac
nhau ¯d ’
ˆe ¯di t`
’
u A ¯d ´
ˆen B v`a c´o 2 ¯d ’
u`
’
ong kh´ac nhau ¯d ’
ˆe ¯di t`
’
u B ¯d ´
ˆen C. Vˆa
.y c´o n= 3.2c´ach
kh´ac nhau ¯d ’
ˆe ¯di t`
’
u A ¯d ´
ˆen C.
A B C
1.2 Ch’
inh h ’
o
.p
2D
¯i
.nh ngh˜
ia 1 Ch’
inh h ’
o
.p chˆa
.p k c’
ua n ph `
ˆan t ’
’
u(k≤n)l`a mˆo
.t nh´om (bˆo
.) c´o th´
’
u t ’
u
.
g`
ˆom k ph `
ˆan t ’
’
u kh´ac nhau cho
.n t`
’
u n ph `
ˆan t ’
’
u ¯d˜a cho.
S´
ˆo ch ’
inh h ’
o
.p chˆa
.pkc’
ua n ph `
ˆan t ’
’
u k´ı hiˆe
.u l`a Ak
n.
Cˆong th´
’
uc t´ınh: Ak
n=n!
(n−k)! =n(n−1) . . . (n−k+ 1)
•V´ı du
.2Mˆo
.t bu ’
ˆoi ho
.p g `
ˆom 12 ng ’
u`
’
oi tham d ’
u
.. H ’
oi c´o m ´
ˆay c´ach cho
.n mˆo
.t ch’
u to
.a
v`a mˆo
.t th ’
u k´y?
Gi ’
ai
M˜
ˆoi c´ach cho
.n mˆo
.t ch’
u to
.a v`a mˆo
.t th ’
u k´y t`
’
u 12 ng ’
u`
’
oi tham d ’
u
.bu ’
ˆoi ho
.p l`a mˆo
.t
ch’
inh h ’
o
.p chˆa
.pkc’
ua 12 ph `
ˆan t ’
’
u.
1
2Ch ’u ’ong 1.Nh˜
’
ung kh´ai ni .
ˆem c ’
o b ’
an v `
ˆe x´ac su ´
ˆat
Do ¯d´o s ´
ˆo c´ach cho
.n l`a A2
12 = 12.11 = 132.
•V´ı du
.3V´
’
oi c´ac ch˜
’
u s ´
ˆo 0,1,2,3,4,5 c´o th ’
ˆe lˆa
.p ¯d ’
u’
o
.c bao nhiˆeu s ´
ˆo kh´ac nhau g `
ˆom 4
ch˜
’
u s ´
ˆo.
Gi ’
ai
C´ac s ´
ˆo b´
˘
at ¯d `
ˆau b`
˘
ang ch˜
’
u s ´
ˆo 0 (0123, 0234,...) khˆong ph ’
ai l`a s ´
ˆo g `
ˆom 4 ch˜
’
u s ´
ˆo.
Ch˜
’
u s ´
ˆo ¯d `
ˆau tiˆen ph ’
ai cho
.n trong c´ac ch˜
’
u s ´
ˆo 1,2,3,4,5. Do ¯d´o c´o 5 c´ach cho
.n ch˜
’
u s ´
ˆo
¯d `
ˆau tiˆen.
Ba ch˜
’
u s ´
ˆo k ´
ˆe ti ´
ˆep c´o th ’
ˆe cho
.n t`uy ´y trong 5 ch˜
’
u s ´
ˆo c`on la
.i. C´o A3
5c´ach cho
.n.
Vˆa
.y s ´
ˆo c´ach cho
.n l`a 5.A3
5= 5.(5.4.3) = 300
1.3 Ch’
inh h ’
o
.p l˘
a
.p
2D
¯i
.nh ngh˜
ia 2 Ch ’
inh h ’
o
.p l˘
a
.p chˆa
.p k c’
ua n ph `
ˆan t ’
’
u l`a mˆo
.t nh´om c´o th´
’
u t ’
u
.g`
ˆom k
ph `
ˆan t ’
’
u cho
.n t`
’
u n ph `
ˆan t ’
’
u ¯d˜a cho, trong ¯d´o m ˜
ˆoi ph `
ˆan t ’
’
u c´o th ’
ˆe c´o m˘
a
.t 1,2,...,k l `
ˆan trong
nh´om.
S´
ˆo ch ’
inh h ’
o
.p l˘
a
.p ch˘
a
.pkc’
ua n ph `
ˆan t ’
’
u ¯d ’
u’
o
.c k´ı hiˆe
.uBk
n.
Cˆong th´
’
uc t´ınh
Bk
n=nk
•V´ı du
.4X´
ˆep 5 cu ´
ˆon s´ach v`ao 3 ng˘
an. H ’
oi c´o bao nhiˆeu c´ach x ´
ˆep ?
Gi ’
ai
M˜
ˆoi c´ach x ´
ˆep 5 cu ´
ˆon s´ach v`ao 3 ng˘
an l`a mˆo
.t ch’
inh h ’
o
.p l˘
a
.p chˆa
.p 5 c’
ua 3 (M ˜
ˆoi l `
ˆan
x´
ˆep 1 cu ´
ˆon s´ach v`ao 1 ng˘
an xem nh ’
u cho
.n 1 ng˘
an trong 3 ng˘
an. Do c´o 5 cu ´
ˆon s´ach nˆen
viˆe
.c cho
.n ng˘
an ¯d ’
u’
o
.c ti ´
ˆen h`anh 5 l `
ˆan).
Vˆa
.y s ´
ˆo c´ach x ´
ˆep l`a B5
3= 35= 243.
1.4 Ho´an vi
.
2D
¯i
.nh ngh˜
ia 3 Ho´an vi
.c’
ua m ph `
ˆan t ’
’
u l`a mˆo
.t nh´om c´o th´
’
u t ’
u
.g`
ˆom ¯d’
u m˘
a
.t m ph `
ˆan
t’
’
u ¯d˜a cho.
S´
ˆo ho´an vi
.c’
ua m ph `
ˆan t ’
’
u ¯d ’
u’
o
.c k´ı hiˆe
.u l`a Pm.
Cˆong th´
’
uc t´ınh
Pm=m!
•V´ı du
.5Mˆo
.t b`an c´o 4 ho
.c sinh. H ’
oi c´o m ´
ˆay c´ach x ´
ˆep ch ˜
ˆo ng `
ˆoi ?
Gi ’
ai
M˜
ˆoi c´ach x ´
ˆep ch ˜
ˆo c’
ua 4 ho
.c sinh ’
’
o mˆo
.t b`an l`a mˆo
.t ho´an vi
.c’
ua 4 ph `
ˆan t ’
’
u. Do ¯d´o s ´
ˆo
c´ach x ´
ˆep l`a P4= 4! = 24.
1. B ’
ˆo t´uc v `
ˆe gi ’
ai t´ıch t ’
ˆo h .
’
op 3
1.5 T ’
ˆo h ’
o
.p
2D
¯i
.nh ngh˜
ia 4 T’
ˆo h ’
o
.p chˆa
.p k c’
ua n ph `
ˆan t ’
’
u(k≤n)l`a mˆo
.t nh´om khˆong phˆan biˆe
.t
th´
’
u t ’
u
., g `
ˆom k ph `
ˆan t ’
’
u kh´ac nhau cho
.n t`
’
u n ph `
ˆan t ’
’
u ¯d˜a cho.
S´
ˆo t ’
ˆo h ’
o
.p chˆa
.pkc’
ua n ph `
ˆan t ’
’
u k´ı hiˆe
.u l`a Ck
n.
Cˆong th´
’
uc t´ınh
Ck
n=n!
k!(n−k)! =n(n−1) . . . (n−k+ 1)
k!
Ch´u ´y
i) Qui ’
u´
’
oc 0! = 1.
ii) Ck
n=Cn−k
n.
iii) Ck
n=Ck−1
n−1+Ck
n−1.
•V´ı du
.6M˜
ˆoi ¯d `
ˆe thi g `
ˆom 3 cˆau h ’
oi l ´
ˆay trong 25 cˆau h ’
oi cho tr ’
u´
’
oc. H ’
oi c´o th ’
ˆe lˆa
.p
nˆen bao nhiˆeu ¯d `
ˆe thi kh´ac nhau ?
Gi ’
ai
S´
ˆo ¯d `
ˆe thi c´o th ’
ˆe lˆa
.p nˆen l`a C3
25 =25!
3!.(22)! =25.24.23
1.2.3= 2.300.
•V´ı du
.7Mˆo
.t m´ay t´ınh c´o 16 c ’
ˆong. Gi ’
a s ’
’
u ta
.i m ˜
ˆoi th`
’
oi ¯di ’
ˆem b ´
ˆat k`y m ˜
ˆoi c ’
ˆong ho˘
a
.c
trong s ’
’
u du
.ng ho˘
a
.c khˆong trong s ’
’
u du
.ng nh ’
ung c´o th ’
ˆe hoa
.t ¯dˆo
.ng ho˘
a
.c khˆong th ’
ˆe hoa
.t
¯dˆo
.ng. H ’
oi c´o bao nhiˆeu c ´
ˆau h`ınh (c´ach cho
.n) trong ¯d´o 10 c ’
ˆong trong s ’
’
u du
.ng, 4 khˆong
trong s ’
’
u du
.ng nh ’
ung c´o th ’
ˆe hoa
.t ¯dˆo
.ng v`a 2 khˆong hoa
.t ¯dˆo
.ng?
Gi ’
ai
D
¯’
ˆe x´ac ¯di
.nh s ´
ˆo c´ach cho
.n ta qua 3 b ’
u´
’
oc:
B’
u´
’
oc 1: Cho
.n 10 c ’
ˆong s ’
’
u du
.ng: c´o C10
16 = 8008 c´ach.
B’
u´
’
oc 2: Cho
.n 4 c ’
ˆong khˆong trong s ’
’
u du
.ng nh ’
ung c´o th ’
ˆe hoa
.t ¯dˆo
.ng trong 6 c ’
ˆong c`on
la
.i: c´o C4
6= 15 c´ach.
B’
u´
’
oc 3: Cho
.n2c’
ˆong khˆong th ’
ˆe hoa
.t ¯dˆo
.ng: c´o C2
2= 1 c´ach.
Theo qui t´
˘
ac nhˆan, ta c´o C10
16 .C4
6.C2
2= (8008).(15).(1) = 120.120 c´ach.
1.6 Nhi
.th´
’
uc Newton
’’
O ph ’
ˆo thˆong ta ¯d˜a bi ´
ˆet c´ac h`
˘
ang ¯d ’
˘
ang th´
’
uc ¯d´ang nh´
’
o
a+b=a1+b1
(a+b)2=a2+ 2a1b1+b2
(a+b)3=a3+ 3a2b1+ 3a1b2+b3
C´ac hˆe
.s´
ˆo trong c´ac h`
˘
ang ¯d ’
˘
ang th´
’
uc trˆen c´o th ’
ˆe x´ac ¯di
.nh t`
’
u tam gi´ac Pascal
4Ch ’u ’ong 1.Nh˜
’
ung kh´ai ni .
ˆem c ’
o b ’
an v `
ˆe x´ac su ´
ˆat
1 1
121
1 3 3 1
14641
C0
nC1
nC2
nC3
nC4
n. . . Cn−1
nCn
n
Newton ¯d˜a ch´
’
ung minh ¯d ’
u’
o
.c cˆong th´
’
uc t ’
ˆong qu´at sau (Nhi
.th´
’
uc Newton):
(a+b)n=
n
X
k=o
Ck
nan−kbk
=C0
nan+C1
nan−1b+C2
nan−2b2+. . . +Ck
nan−kbk+. . . +Cn−1
nabn−1+Cn
nbn
(a,b l`a c´ac s ´
ˆo th ’
u
.c; nl`a s ´
ˆo t ’
u
.nhiˆen)
2. BI ´
ˆ
EN C ´
ˆ
O V `
A QUAN Hˆ
E
.GI˜’
UA C ´
AC BI ´
ˆ
EN C ´
ˆ
O
2.1 Ph´ep th’
’
u v`a bi´
ˆen c ´
ˆo
Viˆe
.c th ’
u
.c hiˆe
.n mˆo
.t nh´om c´ac ¯di `
ˆeu kiˆe
.n c ’
o b ’
an ¯d ’
ˆe quan s´at mˆo
.t hiˆe
.n t ’
u’
o
.ng n`ao ¯d´o
¯d ’
u’
o
.c go
.i mˆo
.t ph´ep th ’
’
u. C´ac k ´
ˆet qu ’
a c´o th ’
ˆe x ’
ay ra c’
ua ph´ep th ’
’
u ¯d ’
u’
o
.c go
.i l`a bi ´
ˆen c ´
ˆo (s ’
u
.
kiˆe
.n).
•V´ı du
.8
i) Tung ¯d `
ˆong ti `
ˆen lˆen l`a mˆo
.t ph´ep th ’
’
u. D
¯`
ˆong ti `
ˆen lˆa
.t m˘
a
.t n`ao ¯d´o (x ´
ˆap, ng ’
’
ua) l`a mˆo
.t
bi ´
ˆen c ´
ˆo.
ii) B´
˘
an mˆo
.t ph´at s´ung v`ao mˆo
.t c´ai bia l`a mˆo
.t ph´ep th ’
’
u. Viˆe
.c viˆen ¯da
.n tr´ung (trˆa
.t)
bia l`a mˆo
.t bi ´
ˆen c ´
ˆo.
2.2 C´ac bi´
ˆen c ´
ˆo v`a quan hˆe
.gi˜
’
ua c´ac bi´
ˆen c ´
ˆo
i) Quan hˆe
.k´eo theo
Bi ´
ˆen c ´
ˆo A ¯d ’
u’
o
.c go
.i l`a k´eo theo bi ´
ˆen c ´
ˆo B, k´ı hiˆe
.uA⊂B, n ´
ˆeu A x ’
ay ra th`ı B x ’
ay
ra.
ii) Quan hˆe
.t’
u’
ong ¯d ’
u’
ong
Hai bi ´
ˆen c ´
ˆo A v`a B ¯d ’
u’
o
.c go
.i l`a t ’
u’
ong ¯d ’
u’
ong v´
’
oi nhau n ´
ˆeu A⊂Bv`a B⊂A, k´ı hiˆe
.u
A=B.
iii) Bi ´
ˆen c ´
ˆo s ’
o c ´
ˆap
Bi ´
ˆen c ´
ˆo s ’
o c ´
ˆap l`a bi ´
ˆen c ´
ˆo khˆong th ’
ˆe phˆan t´ıch ¯d ’
u’
o
.c n˜
’
ua ¯d ’
u’
o
.c n ’
ua.
iv) Bi ´
ˆen c ´
ˆo ch´
˘
ac ch´
˘
an
L`a bi ´
ˆen c ´
ˆo nh ´
ˆat ¯di
.nh s˜e x ’
ay ra khi th ’
u
.c hiˆe
.n ph´ep th ’
’
u. K´ı hiˆe
.u Ω.
2. Bi ´
ˆen c ´
ˆo v`a quan h .
ˆe gi ˜
’
ua c´ac bi ´
ˆen c ´
ˆo 5
•V´ı du
.9Tung mˆo
.t con x´uc x´
˘
ac. Bi ´
ˆen c ´
ˆo m˘
a
.t con x´uc x´
˘
ac c´o s ´
ˆo ch ´
ˆam b´e h ’
on 7 l`a
bi ´
ˆen c ´
ˆo ch´
˘
ac ch´
˘
an.
v) Bi ´
ˆen c ´
ˆo khˆong th ’
ˆe
L`a bi ´
ˆen c ´
ˆo nh ´
ˆat ¯di
.nh khˆong x ’
ay ra khi th ’
u
.c hiˆe
.n ph´ep th ’
’
u. K´ı hiˆe
.u∅.
⊕Nhˆa
.n x´et Bi ´
ˆen c ´
ˆo khˆong th ’
ˆe ∅khˆong bao h`am mˆo
.t bi ´
ˆen c ´
ˆo s ’
o c ´
ˆap n`ao, ngh˜
ia l`a
khˆong c´o bi ´
ˆen c ´
ˆo s ’
o c ´
ˆap n`ao thuˆa
.n l ’
o
.i cho biˆen c ´
ˆo khˆong th ’
ˆe.
vi) Bi ´
ˆen c ´
ˆo ng ˜
ˆau nhiˆen
L`a bi ´
ˆen c ´
ˆo c´o th ’
ˆe x ’
ay ra ho˘
a
.c khˆong x ’
ay ra khi th ’
u
.c hiˆe
.n ph´ep th ’
’
u. Ph´ep th ’
’
u m`a
c´ac k ´
ˆet qu ’
a c’
ua n´o l`a c´ac bi ´
ˆen c ´
ˆo ng ˜
ˆau nhiˆen ¯d ’
u’
o
.c go
.i l`a ph´ep th ’
’
u ng ˜
ˆau nhiˆen.
vii) Bi ´
ˆen c ´
ˆo t ’
ˆong
Bi ´
ˆen c ´
ˆo C ¯d ’
u’
o
.c go
.i l`a t ’
ˆong c’
ua hai bi ´
ˆen c ´
ˆo A v`a B, k´ı hiˆe
.uC=A+B, n ´
ˆeu C x ’
ay
ra khi v`a ch’
i khi ´ıt nh ´
ˆat mˆo
.t trong hai bi ´
ˆen c ´
ˆo A v`a B x ’
ay ra.
•V´ı du
.10 Hai ng ’
u`
’
oi th ’
o
.s˘
an c`ung b´
˘
an v`ao mˆo
.t con th´u. N ´
ˆeu go
.i A l`a bi ´
ˆen c ´
ˆo ng ’
u`
’
oi
th´
’
u nh ´
ˆat b´
˘
an tr´ung con th´u v`a B l`a bi ´
ˆen c ´
ˆo ng ’
u`
’
oi th´
’
u hai b´
˘
an tr´ung con th´u th`ı C=A+B
l`a bi ´
ˆen c ´
ˆo con th´u bi
.b´
˘
an tr´ung.
Ch´u ´y
i) Mo
.i bi ´
ˆen c ´
ˆo ng ˜
ˆau nhiˆen A ¯d `
ˆeu bi ’
ˆeu di ˜
ˆen ¯d ’
u’
o
.c d ’
u´
’
oi da
.ng t ’
ˆong c’
ua mˆo
.t s ´
ˆo bi ´
ˆen c ´
ˆo
s’
o c ´
ˆap n`ao ¯d´o. C´ac bi ´
ˆen c ´
ˆo s ’
o c ´
ˆap trong t ’
ˆong n`ay ¯d ’
u’
o
.c go
.i l`a c´ac bi ´
ˆen c ´
ˆo thuˆa
.n l ’
o
.icho
bi ´
ˆen c ´
ˆo A.
ii) Bi ´
ˆen c ´
ˆo ch´
˘
ac ch´
˘
an Ω l`a t ’
ˆong c’
ua mo
.i bi ´
ˆen c ´
ˆo s ’
o c ´
ˆap c´o th ’
ˆe, ngh˜
ia l`a mo
.i bi ´
ˆen c ´
ˆo
s’
o c ´
ˆap ¯d `
ˆeu thuˆa
.n l ’
o
.i cho Ω. Do ¯d´o Ω c`on ¯d ’
u’
o
.c go
.i l`a khˆong gian c´ac bi ´
ˆen c ´
ˆo s ’
o c ´
ˆap.
•V´ı du
.11 Tung mˆo
.t con x´uc x´
˘
ac. Ta c´o 6 bi ´
ˆen c ´
ˆo s ’
o c ´
ˆap A1, A2, A3, A4, A5, A6, trong
¯d´o Ajl`a bi ´
ˆen c ´
ˆo xu´at hiˆe
.n m˘
a
.t j ch ´
ˆam j= 1,2, . . . , 6.
Go
.i A l`a bi ´
ˆen c ´
ˆo xu ´
ˆat hiˆe
.n m˘
a
.t v´
’
oi s ´
ˆo ch ´
ˆam ch˜
˘
an th`ı A c´o 3 bi ´
ˆen c ´
ˆo thuˆa
.n l ’
o
.i l`a
A2, A4, A6.
Ta c´o A=A2+A4+A6
Go
.i B l`a bi ´
ˆen c ´
ˆo xu ´
ˆat hiˆe
.n m˘
a
.t v´
’
oi s ´
ˆo ch ´
ˆam chia h ´
ˆet cho 3 th`ı B c´o 2 bi ´
ˆen c ´
ˆo thuˆa
.n
l’
o
.i l`a A3, A6.
Ta c´o B=A3+A6
viii) Bi ´
ˆen c ´
ˆo t´ıch
Bi ´
ˆen c ´
ˆo C ¯d ’
u’
o
.c go
.i l`a t´ıch c ’
ua hai bi ´
ˆen c ´
ˆo A v`a B, k´ı hiˆe
.u AB, n ´
ˆeu C x ’
ay ra khi v`a
ch’
i khi c ’
aAl˜
ˆan B c`ung x ’
ay ra.
6Ch ’u ’ong 1.Nh˜
’
ung kh´ai ni .
ˆem c ’
o b ’
an v `
ˆe x´ac su ´
ˆat
•V´ı du
.12 Hai ng ’
u`
’
oi c`ung b´
˘
an v`ao mˆo
.t con th´u.
Go
.i A l`a bi ´
ˆen c ´
ˆo ng ’
u`
’
oi th´
’
u nh ´
ˆat b´
˘
an tr ’
u’
o
.t, B l`a bi ´
ˆen c ´
ˆo ng ’
u`
’
oi th´
’
u hai b´
˘
an tr ’
u’
o
.t th`ı
C=AB l`a bi ´
ˆen c ´
ˆo con th´u khˆong bi
.b´
˘
an tr´ung.
ix) Bi ´
ˆen c ´
ˆo hiˆe
.u
Hiˆe
.u c’
ua bi ´
ˆen c ´
ˆo A v`a bi ´
ˆen c ´
ˆo B, k´ı hiˆe
.u A \B l`a bi ´
ˆen c ´
ˆo x ’
ay ra khi v`a ch’
i khi A
x’
ay ra nh ’
ung B khˆong x ’
ay ra.
x) Bi ´
ˆen c ´
ˆo xung kh´
˘
ac
Hai bi ´
ˆen c ´
ˆo A v`a B ¯d ’
u’
o
.c go
.i l`a hai bi ´
ˆen c ´
ˆo xung kh´
˘
ac n ´
ˆeu ch´ung khˆong ¯d `
ˆong th`
’
oi
x’
ay ra trong mˆo
.t ph´ep th ’
’
u.
•V´ı du
.13 Tung mˆo
.t ¯d `
ˆong ti `
ˆen.
Go
.i A l`a bi ´
ˆen c ´
ˆo xu ´
ˆat hiˆe
.n m˘
a
.t x ´
ˆap, B l`a bi ´
ˆen c ´
ˆo xu ´
ˆat hiˆe
.n m˘
a
.t ng ’
’
ua th`ı AB =∅.
xi) Bi ´
ˆen c ´
ˆo ¯d ´
ˆoi lˆa
.p
Bi ´
ˆen c ´
ˆo khˆong x ’
ay ra bi ´
ˆen c ´
ˆo A ¯d ’
u’
o
.c go
.i l`a bi ´
ˆen c ´
ˆo ¯d ´
ˆoi lˆa
.p v´
’
oi bi ´
ˆen c ´
ˆo A. K´ı hiˆe
.uA.
Ta c´o
A+A= Ω, AA =∅
⊕Nhˆa
.n x´et
Qua c´ac kh´ai niˆe
.m trˆen ta th ´
ˆay c´ac bi ´
ˆen c ´
ˆo t ’
ˆong, t´ıch, hiˆe
.u, ¯d ´
ˆoi lˆa
.p t ’
u’
ong ´
’
ung v´
’
oi
tˆa
.p h ’
o
.p, giao, hiˆe
.u, ph `
ˆan b`u c’
ua l´y thuy ´
ˆet tˆa
.p h ’
o
.p. Do ¯d´o ta c´o th ’
ˆe s ’
’
u du
.ng c´ac ph´ep
to´an trˆen c´ac tˆa
.p h ’
o
.p cho c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac bi ´
ˆen c ´
ˆo.
Ta c´o th ’
ˆe d`ung bi ’
ˆeu ¯d `
ˆo Venn ¯d ’
ˆe miˆeu t ’
a c´ac bi ´
ˆen c ´
ˆo.
Ω
Bc ch´
˘
ac ch´
˘
an
ΩΩ
ΩΩΩ
ABA BAA
A=⇒B
A+B AB
A,B xung kh´
˘
ac D
¯´
ˆoi lˆa
.pA
có thể bạn quan tâm
Tham khảo các dạng bài tập xác suất thống kê
99
1.864
685
Đề thi, bài tập
99
(New)
Tham khảo giáo trình kinh tế học vi mô
237
949
413
Bài giảng, giáo trình
237
(New)
Tham khảo giáo trình quản trị học management
116
1.180
946
Bài giảng, giáo trình
116
(New)
Tham khảo Giáo trình quản trị sản xuất đại cương
158
1.236
389
Bài giảng, giáo trình
158
(New)
Tham khảo giáo trình quản trị marketing trong khách sạn
56
1.084
366
Bài giảng, giáo trình
56
(New)
Giáo trình xác suất thống kê của Đại học Đông Á
77
1.279
671
Bài giảng, giáo trình
77
(New)
Tham khảo giáo trình phân tích hoạt động kinh doanh
236
1.102
396
Bài giảng, giáo trình
236
(New)
Giáo trình xác suất thống kê của trường Cao đẳng CNTT TP HCM
185
1.286
2.603
Bài giảng, giáo trình
185
(New)
thông tin tài liệu
1. Bổ túc về giải tích tổ hợp
1.1. Quy tắc nhân
Mở rộng để xem thêm
tài liệu mới trong mục này
tài liệu hot trong mục này
tài liệu giúp tôi
Nếu bạn không tìm thấy tài liệu mình cần có thể gửi yêu cầu ở đây để chúng tôi tìm giúp bạn!
×
