Bài giảng xác suất thống kê của ĐH Duy Tân Đà Nẵng
Đ
À
N
Ẵ N G
,
M Ù A T H U N Ă M
2013
Xác su
ất v
à Th
ống
kê Toán (Nâng Cao)
TS. Trần Nhân Tâm Quyền
ĐẠI HỌC DUY TÂN ĐÀ NẴNG
CHƯƠNG 1: XÁC XUẤT CỦA BIẾN CỐ
§1. Biến cố và quan hệ giữa các biến cố
1.1. Phép thử và biến cố:
Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó được
gọi là một phép thử còn hiện tượng có thể xảy ra hay không trong kết quả của phép thử
được gọi là biến cố.
Thí dụ:
1. Tung một con xúc xắc là một phép thử, còn việc lật lên mặt nào đó là biến cố.
2. Bắn một phát súng vào bia thì việc bắn súng là phép thử còn viên đạn trúng bia (hay
trược bia) là biến cố.
3. Từ một lô sản phẩm gồm chính phẩm và phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm, việc
lấy sản phẩm là một phép thử; còn lấy được chính phẩm (hay phế phẩm) là biến cố.
Như vậy ta thấy rằng một biến cố chỉ có thể xảy ra khi một phép thử gắn liền với nó được
thực hiện.
1.2. Các loại biến cố:
Trong thực tế ta có thể gặp các loại biến cố sau đây:
a) Biến cố chắc chắn:
Là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến cố chắc chắn được ký hiệu là
Ω
.
Thí dụ:
1. Khi thực hiện phép thử: tung một con xúc xắc, gọi
Ω
là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt
có số chấm nhỏ hơn hoặc bằng sáu thì
Ω
là biến cố chắc chắn.
2. Gọi
Ω
là biến cố nước sôi ở nhiệt độ 100
0
C, dưới áp suất 1 atm thì
Ω
là một biến cố
chắc chắn.
b) Biến cố không thể có:
Là biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến cố không thể có được ký hiệu là
∅
.
Thí dụ:
1. Khi tung một con xúc xắc. Gọi
∅
là biến cố xuất hiện mặt 7 chấm, khi đó
∅
là biến
cố không thể có.
2. Biến cố nước sôi ở nhiệt độ 50
0
C, với áp suất 1 atm là biến cố không thể có.
c) Biến cố ngẫu nhiên:
Là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử. Các biến cố ngẫu
nhiên thường được ký hiệu là A, B, C hoặc là A
1
, A
2
, …, A
n, …
Thí dụ:
Khi tung một đồng xu, gọi A là biến cố xuất hiện mặt Sấp thì A là biến cố ngẫu nhiên.
Tất cả các biến cố ta gặp trong thực tế đều thuộc một trong ba loại biến cố trên. Tuy nhiên
biến cố ngẫu nhiên là loại biến cố thường gặp hơn cả.
1.3. Mối quan hệ giữa các biến cố:
Định nghĩa 1:
A và B được gọi là hai biến cố tương đương nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra và ngược lại.
Ký hiệu:
A = B
Thí dụ:
Khi tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố xuất hiện mặt 6 chấm, B là biến cố xuất hiện
mặt chẵn lớn hơn 4. Ta thấy nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra và ngược lại nếu B xảy ra thì
A cũng xảy ra. Vậy A = B.
Định nghĩa 2:
Biến cố C được gọi là tổng của hai biến cố A và B nếu C xảy khi và chỉ khi có ít nhất
một trong hai biến cố A, B xảy ra. Ký hệu
C = A + B hoặc
C A B
= ∪
.
Thí dụ:
Chọn ngẫu nhiên từ 2 lớp A, B mỗi lớp 1 sinh viên. Gọi A là biến cố bạn chọn từ lớp A là
nam, B là biến cố bạn chọn từ lớp B là nam và C là biến cố chọn được sinh viên nam. Rõ
ràng biến cố C xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra. Vậy C = A + B.
Định nghĩa 3:
Biến cố A được gọi là tổng của n biến cố: A
1
, A
2
, …, A
n
nếu A xảy ra khi và chỉ khi có ít
nhất một trong n biến cố đó xảy ra. Ký hiệu là:
A = A
1
+ A
2
+ … +A
n
hoặc
1 2
... .
n
A A A A
= ∪ ∪ ∪
Định nghĩa 4:
Biến cố C được gọi là tích của hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi cả A và B
cùng đồng thời xảy ra. Ký hiệu:
C = A.B hoặc
C A B
= ∩
.
Thí dụ:
Hai lớp A, B đều có sinh viên sống tại Đà Nẵng. Chọn ngẫu nhiên mỗi lớp 1 sinh viên.
Gọi A là biến cố chọn được sinh viên sống ở Đà Nẵng ở lớp A, B là biến cố chọn được
sinh viên sống ở Đà Nẵng ở lớp B, C là biến cố cả hai sinh viên sống ở Đà Nẵng. Rõ ràng
C xảy ra khi và chỉ khi cả A và B cùng xảy ra. Vậy C = A.B
Định nghĩa 5:
Biến cố A được gọi là tích của n biến cố A
1
, A
2
, …, A
n
nếu A xảy ra khi và chỉ khi tất cả
n biến cố ấy đồng thời xảy ra. Ký hiệu là:
A = A
1
.A
2
…A
n
hoặc
1 2
... .
n
A A A A
= ∩ ∩ ∩
Thí dụ:
Xét phép thử lấy ngẫu nhiên lần lượt ra 4 con hạc giấy từ hộp có 10 con hạc (trong đó có
4 con hạc màu trắng). Gọi A
i
là biến cố lần thứ i lấy được lấy được hạc trắng (i =
1,2,3,4). A là biến cố lấy được 4 con hạc trắng. Ta thấy A xảy ra khi và chỉ khi cả 4 biến
cố A
1
, A
2
, A
3
và A
4
đồng thời xảy ra. Vậy: A = A
1
.A
2
.A
3
.A
4
.
Định nghĩa 6:
Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu chúng không đồng thời xảy ra trong
một phép thử. Nghĩa là
.A B
= ∅
với
∅
là biến cố không thể xảy ra.
Thí dụ:
Xét phép chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp. Gọi A là biến cố sinh viên được chọn là
nam và B là biến cố sinh viên được chọn là nữ thì A và B là hai biến cố xung khắc.
Định nghĩa 7:
Nhóm n biến cố A
1
, A
2
, …, A
n
được gọi là xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ
trong n biến cố này xung khắc với nhau. Nghĩa là
. , .
i j
A A i j
= ∅ ∀ ≠
Thí dụ:
Trong một thùng hàng có 3 sản phảm loại I, 4 sản phẩm loại II và 5 sản phẩm loại III. Lấy
ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ thùng hàng. Gọi A là biến cố lấy được 2 sản phẩm loại I, B là
biến cố lấy được 2 sản phẩm loại II, C là biến cố lấy được 2 sản phẩm khác loại. Khi đó
A, B, C là 3 biến cố xung khắc từng đôi.
Định nghĩa 8:
Các biến cố A
1
, A
2
, …, A
n
được gọi là nhóm biến cố đầy đủ nếu chúng xung khắc từng
đôi và tổng của chúng là biến cố chắc chắn. Nghĩa là
. , ,
i j
A A i j
= ∅ ∀ ≠
1 2
...
n
A A A
+ + + = Ω
Thí dụ:
Xét phép thử tung một con xúc xắc. Gọi A
i
(i = 1,…,6) là biến cố xuất hiện mặt i chấm.
Các biến cố A
1
, A
2
, …, A
6
tạo nên một nhóm các biến cố đầy đủ vì chúng xung khắc từng
đôi một và tổng của 6 biến cố đó là biến cố chắc chắn
1 2 6
...A A A
+ + + = Ω
.
Định nghĩa 9:
Biến cố A và B gọi là hai biến cố đối lập nhau (hay phủ định nhau) nếu chúng tạo nên
một nhóm biến cố đầy đủ.
Biến cố đối lập của biến cố A được ký hiệu là
A
. Vậy A và
A
lập thành một nhóm đầy
đủ các biến cố.
Thí dụ:
Khi tung một con xúc xắc. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẵn, B là biến cố xuất hiện
mặt lẻ. Rõ ràng B là biến cố đối lập của biến cố A hay
B A
=
.
Luật Demorgan:
1 2 1 2
... . ... ,
n n
A A A A A A
+ + + =
1 2 1 2
. ... ...
n n
A A A A A A
= + + +
.
Nhận xét:
A+B = B+A; A.B = B.A
A+A = A; A.A = A
A.(B + C) = A.B + A.C
A+
∅
= A; A.
∅
=
∅
A+
Ω
=
Ω
; A.
Ω
= A
A A
+ = Ω
; .A A
= ∅
§2. Định nghĩa cổ điển về xác suất
Quan sát các hiện tượng tự nhiên ta thấy có những hiện tượng thường xảy ra, có những
hiện tượng ít xảy ra. Xác suất là một đại lượng thể hiện mức độ xảy ra (thường xuyên hay
ít khi) của một biến cố. Trong lịch sử Toán học đã có nhiều định nghĩa cho khái niệm xác
suất. Trong phần này, ta sẽ xem xét một số định nghĩa tiêu biểu.
2.1. Định nghĩa xác suất cổ điển
a) Định nghĩa
Xác suất xuất hiện biến cố A là tỷ số giữa số các trường hợp thuận lợi để biến cố A xảy ra
và số trường hợp cùng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử.
Nếu ký hiệu P(A) là xác suất của biến cố A, m là số trường hợp thuận lợi cho biến cố A, n
là số trường hợp cùng khả năng có thể xảy ra thì ta có công thức:
( )
m
P A
n
=
.
Thí dụ 1:
có thể bạn quan tâm
Bài giảng xác suất thống kê của trường Cao đẳng công nghiệp Huế
37
915
1.500
Bài giảng, giáo trình
37
(New)
Nghiên cứu và vận hành hệ thống dây chuyền sản xuất sữa tươi thanh trù...
23
696
261
Kinh tế quản lý
23
(New)
Tìm ra những giống lúa ngắn ngày, có năng suất cao và phẩm chất gạo tố...
96
732
441
Kinh tế quản lý
96
(New)
Giải pháp nhằm hoàn thiện công tác đào tạo nhân lực, nâng cao năng suấ...
56
933
318
Kinh tế quản lý
56
(New)
Luận văn tốt nghiệp: Giới thiệu về điện tử công suất, nghiên cứu, trìn...
74
1.331
265
Kinh tế quản lý
74
(New)
So sánh, phân tích của năng suất và khả năng chịu ngập của 8 giống- dò...
0
731
299
Kỹ thuật
(New)
Đánh giá đặc điểm sinh trưởng, phát triển, khả năng chống chịu và năng...
74
617
254
Kinh tế quản lý
74
(New)
Luận văn: Tổng quan, chức năng, nhiệm vụ và phân tích hệ thống thông t...
84
1.038
333
Kỹ thuật
84
(New)
thông tin tài liệu
§1. Biến cố và quan hệ giữa các biến cố
1.1. Phép thử và biến cố:
Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó được
gọi là một phép thử còn hiện tượng có thể xảy ra hay không trong kết quả của phép thử
được gọi là biến cố
Mở rộng để xem thêm
tài liệu mới trong mục này
tài liệu hot trong mục này
tài liệu giúp tôi
Nếu bạn không tìm thấy tài liệu mình cần có thể gửi yêu cầu ở đây để chúng tôi tìm giúp bạn!
×
