DANH MỤC TÀI LIỆU
Đáp án đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 cấp tỉnh Bắc Ninh năm học 2015-2016
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán - Lớp 9
Câu
Đáp án
Đim
1. (3.0 điểm)
Ta có
( ) ( ) ( )( )
33
33 2.2 2 2 2 2a b a b a b bb a a=+- +- = -
0.75
Suy ra
( )( )
22 .
2
2
1
22
a ab b
ab
a b a ab b
++
==
-
- + +
0.75
( )( )
( ) ( )
2
33 2 2 2
22
2.
22
22
2 2 2 2 2
2 2 2
a b a ab b
bba
ab
ab
aa
ab b
a ab b a ab b
a
b b b
+ - +
- = -
++
-
= - = =
+
- + - +
0.75
T đó,
( )
2
2
12
..
2 2 2
ab ab
a b b b
P--
=
-
=
0.75
2.1. (2.0 điểm)
Theo định lí Viét ta có
1 2 3 4 1 2
1, 2015x x x x x x= = + = -
0.5
Do đó
( ) ( )
22
1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 4 4
M x x x x x x x x x x x x
é ùé ù
= + + + - + +
ê úê ú
ë ûë û
0.5
( )( )
( )( )
22
3 3 4 4 3 4
1 2015 1 2015 4031 4031x x x x x x= - + + + = - - =
( Vì
22
3 3 4 4
1 2016 ; 1 2016x x x x+ = - + = -
)
1.0
2.2. (2.0 điểm)
Ta có
( ) ( ) ( )
3 5 68 3 4 5 16 3 4x y x y x+ = Û + = - Þ +
chia hết cho
5
( ) ( )
4 5 5 4x k k x k kÞ + = Î Þ = - ΢¢
0.5
Mặt khác điểm
( )
;M x y
thuc hình ch nht
ABCD
(không nm trên cnh ) nên ta có
( )
6 42 58
3 68 5 58 19 Do
2 17 3
xx y x x x
y
ì
ï<<
ïÞ = - < Þ < Þ £ Î
í
ï<<
ï
î
¢
Do đó
3
23
6 5 4 19 2 4
5
k
kk
k
é=
ê
< - £ Û < < Þ ê=
ê
ë
( Vì
kÎ ¢
)
1.0
Vi
( ) ( )
3 ; 11;7k x y= Þ =
( Tha mãn)
Vi
( ) ( )
4 ; 16;4k x y= Þ =
( Tha mãn)
Vậy các điểm cn tìm
( ) ( )
11;7 ; 16;4MM
.
0.5
3.1. (2.0 điểm)
Ta s chng minh
( )
2 1 9 1
2a b a b
+
Tht vy
( ) ( )( ) ( )
2
22
1 2 2 9 2 4 2 0 2 0,b a a b ab a ab b a bÛ + + ³ Û - + ³ Û - ³
ln đúng.
Du bng xy ra khi ch khi
.ab=
1.0
Ta li có
( )
( ) ( ) ( )
2
22
2 2 1 2 2a b a b+ + ³ +
Du bng xy ra khi ch khi
.ab=
0.5
Do đó,
( )
22
2 1 9 9 3.
232
a b a b c
ab
+ ³ ³ ³
++
Du bng xy ra khi ch khi
.a b c==
0.5
3.2. (2.0 điểm)
( ) ( ) ( ) ( )
10 10 2.5. .
ab b c a b b c a c a b b a c
c
ca = Û + = + Û - = -
Suy ra,
5
là ước ca
( )
.b a c-
Do
5
nguyên t
1 9; 8 8b a c£ £ - £ - £
nên hoc
5b=
hoc
5ca- = -
hoc
5.ca-=
0.5
Nếu
5b=
thì
( )
29
2 5 2 2 1
2 9 2 9
a
c a a c c c
aa
- = - Û = Û = +
--
2 2 2 9 0ca³ Þ - >
nên
( ) { } { }
2 9 1;3;9 5;6;9aa- Î Û Î
(
5a=
loi).
Vi
( ) ( )
6 2 ; ; 6;5;2a c a b c= Þ = Þ =
Vi
( ) ( )
9 1 ; ; 9;5;1a c a b c= Þ = Þ =
0.5
Nếu
5ac=+
thì
( )
2
2 10
25 21
cc
c c b b b c
+
+ - = Û = +
2
4 20 9
2 2 2 9
2 1 2 1
cc
b b c
cc
+
Û = Û = + -
++
Suy ra,
( ) { } { }
2 1 1;3;9 0;1;4cc+ Î Û Î
(
0c=
loi).
Vi
( ) ( )
1 6; 4 ; ; 6;4;1c a b a b c= Þ = = Þ =
Vi
( ) ( )
4 9; 8 ; ; 9;8;4c a b a b c= Þ = = Þ =
0.5
Nếu
5ca=+
thì
( )( )
2
2 10
25 29
aa
a a b b b a
+
+ - = - Û = +
9
2 2 1 29
ba a
Þ = + - +
Do
2 9 9a+>
nên
9
29aÎ
+¢
(không tha mãn).
Vy các b s
( )
;;a b c
tha mãn
( ) ( ) ( ) ( )
6;4;1 , 9;8;4 , 6;5;2 , 9;5;1 .
0.5
4.1. (2.0 điểm)
F
E
Q
P
O
N
M
C
B
A
Ta có
·
· ·
· ·
( )
1
2
BOP BAO ABO BAC ABC= + = +
·
·
·
· ·
( )
·
·
0
0
90
180 1
22
PNC NCO
ACB BAC ABC
BOP PNC
=-
-
= = +
Þ=
Do đó, tứ giác
BOPN
ni tiếp.
1.0
Tương t t giác AOQM ni tiếp
0.5
Do t giác AOQM ni tiếp
·
·
0
90AQO AMOÞ = =
T giác BOPN ni tiếp
·
·
0
90BPO BNOÞ = =
·
·
0
90AQB APBÞ = = Þ
T giác AQPB
ni tiếp
0.5
4.2. (2.0 điểm)
Tam giác
AQB
vuông ti
Q
QE
là trung tuyến nên
.QE EB EA==
· ·
µ
·
1/ / .
2
EQB EBQ B QBC QE BCÞ = = = Þ
1.0
EF
đường trung bình ca tam giác
ABC
nên
/ / .EF BC
Suy ra,
,,Q E F
thng hàng.
1.0
4.3. (2.0 điểm)
,MOP COBDD
đồng dng
MP OM OP
a OC OB
Þ = =
0.5
NOQD
COAD
đồng dng
NQ ON OM
b OC OC
Þ = =
0.5
POQD
BOAD
đồng dng
PQ OP OM
c OB OC
Þ = =
0.5
OM MP NQ PQ MP NQ PQ
OC a b c a b c
++
Þ = = = = ++
0.5
5.1. (1.5 đim)
Gi
A
là
1
trong
4033
điểm đã cho. Vẽ đường tròn tâm
A
bán kính
1.
hiu
( )
,1 .A
+) Nếu tt c
4032
đim còn li đều nằm trong đường tròn này t bài toán được gii quyết.
0.5
+) Giả sử
B
nằm ngoài đường tròn
( )
,1 .A
Khi đó,
1AB >
, vẽ đường tròn tâm
B
bán kính
bằng
1,
hiệu là
( )
,1 .B
Gi
C
là điểm thứ
3
trong
4031
điểm còn lại. Do
,,A B C
là ba
điểm bất
1AB >
nên theo giả thiết hoặc
1AC <
hoặc
1.BC <
Nên
C
nằm trong
( )
,1A
hoặc
( )
,1B
do đó, hai hình tn
( )
,1A
( )
,1B
chứa tất cả
4033
điểm đã cho.
4033 2.2016 1,=+
nên theo nguyên lí Dirichlet một trong hai đưng tròn này cha
2016
điểm.
1.0
5.2. (1.5 đim)
F
D
E
C
B
O
A
M
Đưng thng
OA
ct
( )
O
ti
,CD
vi
C
trung điểm ca
OA
. Gi
E
là trung
đim ca
.OC
Nếu
M
không trùng vi
,CD
thì
OEMD
OMAD
đồng dng
·
·
1
,2
OM OE
MOE AOM OA OM
æö
÷
ç÷
= = =
ç÷
ç÷
ç
èø
12.
2
ME OM MA EM
AM OA
Þ = = Þ =
0.5
Nếu
M
trùng vi
C
t
2 2 .MA CA EC EM= = =
Nếu
M
trùng vi
D
t
2 2 .MA DA ED EM= = =
Vy ta ln có
2.MA EM=
0.5
Do đó,
2 2 2 2MA MB EM MB EB+ = + ³
là hng s.
Du bng xy ra khi ch khi
M
giao điểm ca
BE
vi
( )
.O
Vy
2MA MB+
đạt giá tr nh nht khi
M
giao đim ca
BE
vi
( )
.O
0.5
Chú ý:
1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm.
2. HS trình bày theo cách khác đúng thì giám kho cho điểm tương ng với thang điểm.
Trong trường hp hướng làm ca HS ra kết qu nhưng đến cui còn sai sót thi giám kho
trao đổi vi t chấm để gii quyết.
3. Tổng đim ca bài thi không làm tròn.
-----------Hết-----------
thông tin tài liệu
Đáp án HSG Toán học lớp 9 Bắc Ninh 2015-2016 là lời giải đề thi môn Toán học, một trong những đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 của tỉnh Bắc Ninh niên khóa 2015-2016. Đây là kỳ thi lựa chọn ra những học sinh xuất sắc của tỉnh các môn, đồng thời cũng để xét điểm ưu tiên cho các học sinh tham dự thi THPT công lập và THPT chuyên niên khóa 2016-2017.
Mở rộng để xem thêm
xem nhiều trong tuần
yêu cầu tài liệu
Giúp bạn tìm tài liệu chưa có

LÝ THUYẾT TOÁN


×