Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 9 THCS năm học 2016-2017 sở GD và ĐT Hải Dương - Tailieu123.org

Luận văn - báo cáo

Thạc sĩ cao học

Kinh tế quản lý

Khoa học tự nhiên

Kinh tế - Thương mại

Lý luận chính trị

Kỹ thuật

Báo cáo, luận văn khác

Kỹ năng mềm

Mẫu slide

Mẫu slide cho thuyết trình

Mẫu slide cho giáo án điện tử

Mẫu slide khác

Mẫu slide - Template

Kinh doanh - tiếp thị

Marketing, bán hàng

PR truyền thông

Kế hoạch kinh doanh

Tài liệu kinh doanh, tiếp thị khác

Thương mại điện tử

Kinh tế - Quản lý

Bài giảng, giáo trình

Tài liệu kinh tế khác

Tài chính - Ngân hàng

Tài chính doanh nghiệp

Kế toán, kiểm toán

Ngân hàng - tín dụng

Tài liệu tài chính - ngân hàng khác

Biểu mẫu - Văn bản

Mẫu hợp đồng

Mẫu đơn từ

Biểu mẫu, văn bản khác

Thủ tục hành chính

Giáo dục đào tạo

Tài liệu, đề thi môn Toán

Tài liệu, đề thi môn Ngữ Văn

Tài liệu, đề thi THPT các trường

Tài liệu, đề thi Vật Lý

Tài liệu, đề thi Sinh Học

Tài liệu, đề thi Hóa Học

Tài liệu, đề thi Lịch Sử

Tài liệu, đề thi học sinh giỏi

Tài liệu, đề thi khác

Giải bài tập các môn

Giáo án bài giảng

Giáo án, bài giảng lớp 6

Giáo án, bài giảng lớp 7

Giáo án, bài giảng lớp 8

Giáo án, bài giảng lớp 9

Giáo án, bài giảng lớp 10

Giáo án, bài giảng lớp 11

Giáo án, bài giảng lớp 12

Giáo án, bài giảng tiểu học

Giáo án, bài giảng khác

Công nghệ thông tin

Văn bản pháp luật

Thuế - Lệ phí - Kinh phí

Văn bản pháp luật khác

Học tiếng Anh

Tài liệu học tiếng Anh khác

Y học- sức khỏe

Tài liệu y học - sức khỏe khác

Các bài văn khấn nôm

Lĩnh vực khác

Kinh doanh - tiếp thị

Kinh tế - Quản lý

Tài chính - Ngân hàng

Tài liệu, đề thi môn Toán

Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 9 THCS năm học 2016-2017 sở GD và ĐT Hải Dương

1035

309

Định dạng

Báo cáo tài liệu vi phạm

SỞ GD&ĐT HẢI DƢƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016-2017

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề thi có 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm).

a) Cho biểu thức

P 1 x (1 x) 1 x 1 x (1 x) 1 x         

với

1x1  

Tính giá trị của biểu thức

khi

x2017



b) Cho

a, b, c

là ba số thực không âm thoả mãn

a b c a b c 2     

Chứng minh rằng:

a b c 2

1 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c)

  

     

Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải phương trình:

 

2x 2x 1 (2x 1) x x 2 1      

b) Giải hệ phương trình:

 

x y 1 xy x 1

2x x y 1

    



  





Câu 3 (2,0 điểm).

a) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn:

2x 2y 3x 6y 5xy 7    

b) Tìm tất cả các số tự nhiên

sao cho

n 2n n 2n 18 9    

là số chính phương.

Câu 4 (3,0 điểm).

1) Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O,R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau

tại H (D thuộc BC, E thuộc CA, F thuộc AB). Tia EF cắt tia CB tại P, AP cắt đường tròn (O,R) tại M

(M khác A).

a) Chứng minh rằng: PE.PF = PM.PA và AM vuông góc với HM.

b) Cho cạnh BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Xác định vị trí của A để diện tích



BHC đạt giá trị lớn nhất.

2) Cho tam giác ABC có góc A nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Một điểm I chuyển động trên cung

BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường

thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường

thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5 (1,0 điểm). Cho

a, b, c

là ba số thực dương thoả mãn

2 2 2

a b c 3  

Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

a 3ab b b 3bc c c 3ca a 3

6a 8ab 11b 6b 8bc 11c 6c 8ca 11a

     

  

     

***************Hết***************

Họ và tên thí sinh:……………………………………………….Số báo danh:…………………………..

Chữ kí giám thị 1:…………………………………..Chữ kí giám thị 2:………………………………….

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1 (2,0 điểm).

a) Cho biểu thức

P 1 x (1 x) 1 x 1 x (1 x) 1 x         

với

1x1  

Tính giá trị của biểu thức

khi

x2017



b) Cho

a, b, c

là ba số thực không âm thoả mãn

a b c a b c 2     

Chứng minh rằng:

a b c 2

1 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c)

  

     

Bài làm

P 1 x (1 x) 1 x 1 x (1 x) 1 x         

P 1 x 1 1 x 1 1 x



      





(vì

1x1  

Lúc đó suy ra

 

P (1 x) 2 2 1 (1 x ) 2(1 x)(1 x )       

Mà

P 1 x (1 x) 1 x 1 x (1 x) 1 x 0          

.Nên từ đó ta suy ra

P 2(1 x)

(vì

1 x 0

) .Vì

2017

  

nên suy ra

2018

2017



b. Đặt

x a;y b;z c xy yz xz 1 a 1 (x y)(x z)           

Tương tự ta có

b 1 (z y)(x y);c 1 (z x)(z y)       

.Nên lúc đó ta có :

a b c 2(xy yz xz) 2 VP

1 a 1 b 1 c (x y)(y z)(z x) (1 a)(1 b)(1 c)



    

        

Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải phương trình:

 

2x 2x 1 (2x 1) x x 2 1      

b) Giải hệ phương trình:

 

x y 1 xy x 1

2x x y 1

    



  





Bài làm

   

2 2 2 2 2

2x 2x 1 (2x 1) x x 2 1 (x x 2) x x 1 (2x 1) x x 2 1 (1).                 

Đặt

 

2 2 2

t x x 2 1 x x 2 (t 1)        

.Thay vào phương trình (1) ta có :

(t x)(t x 1) 0 t x 1





     



Với

x1 1

t x x

x x 2 (x 1) 3





   

   



Với

t x 1 x 2

x x 2 x





    

  



Vậy nghiệm phương trình là

x ;x 2



 

x y 1 xy x 1

2x x y 1

    



  





(I) .Ta có

 

x y 1 x(y 1) 1

(I) (II)

2x x y 1

    



  





Đặt t= y+1 ta có hệ

22 22

3 2 2

x t xt 1 x t 1

x t xt 1

(II) x t 1

2x (x t)(x t xt)

    

   



  

     



   





Vậy nghiệm hệ là (1;0);(-1;-2).

Câu 3 (2,0 điểm).

a) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn:

2x 2y 3x 6y 5xy 7    

b) Tìm tất cả các số tự nhiên

sao cho

n 2n n 2n 18 9    

là số chính phương.

Bài làm

a. Ta có

2x 2y 3x 6y 5xy 7 (x 2y)(2x y 3) 7          

Xét tất cả trường hợp ta có nguyên (x;y) là (3;2);(-5;-6);(-7;-4);(1;4).

n 2n n 2n 18 9    

là số chính phương.

Lúc đó suy ra

n 2n 18

là số tự nhiên .

Đặt

n 2n 18 k(k )   

.Ta có

n 2n 18 k(k ) (k n 1)(k n 1) 17         

.Vì k,n đều

là tự nhiên và

k n 1 k n 1    

nên ta xét trường hợp sau :

k n 1 17 k 9

k n 1 2 n 7

   







   



.Lúc đó

2 2 2

n 2n n 2n 18 9 81 9      

.Vậy n = 7 thỏa đề .

Câu 4 (3,0 điểm).

1) Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O,R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau

tại H (D thuộc BC, E thuộc CA, F thuộc AB). Tia EF cắt tia CB tại P, AP cắt đường tròn (O,R) tại M

(M khác A).

a) Chứng minh rằng: PE.PF = PM.PA và AM vuông góc với HM.

b) Cho cạnh BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Xác định vị trí của A để diện tích



BHC đạt giá trị lớn nhất.

2) Cho tam giác ABC có góc A nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Một điểm I chuyển động trên cung

BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường

thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường

thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.

Bài làm

4.1a.

Do BE ,CF là đường cao của tam giác ABC nên

90 .BFC BEC

Nên tứ giác BFEC nội tiếp suy ra

.PBF PEC

Từ đó có tam giác PBF đồng dạng với PEC suy ra

PB PF PE.PF PB.PC

PE PC

  

(1).

Tứ giác AMBC nội tiếp suy ra

PBM PAC

Từ đó có tam giác PBM đồng dạng với PAC suy ra

PB PM PB.PC PM.PA

PE PC

  

(2).

Từ (1) và (2) suy ra PE.PF=PM.PA .

Ta có PE.PF=PM.PA suy ra

PE PA

PM PF



. Ta có tam giác PMF đồng dạng với tam giác PEA.Lúc đó suy

PMF PEA

.Ta có tứ giác AMFE nội tiếp (3).Do

90AHE AFH

nên suy ra tứ giác AEHF nội

tiếp (4).Từ (3) và (4) suy ra 5 điểm A,M,F,H,E cùng thuộc 1 đường tròn đường kính AH .Suy ra

90 .AMH AM HM  

4.1b.Kẻ đường kính AK của đường tròn (O).Gọi N là trung điểm cạnh BC .Chứng minh được tứ giác

BHCK là hình bình hành .Mà N là trung điểm của BC nên N là trung điểm của HK.

Suy ra ON là đường trung bình của tam giác KAH hay AH=2.ON.

Ta có tam giác OBC cân tại O suy ra ON là đường trung tuyến ,cũng là đường cao ,phân giác .Lúc đó

có

NOC BOC





(không đổi vì 3 điểm B,O,C cố định ).

Do đó

1 1 1

. . ( ) ( 2. )

2 2 2

BHC

S BC HD BC AD AH BC AN ON    

.Hay suy ra

1 1 1

( 2. ) ( 2. ) .( )

2 2 2

BHC

S BC AN ON BC AO ON ON BC AO ON      

Tiếp tục ta suy ra

. ( os )= . (1 os )

BHC

S BC R Rc R BC c



  

(không đổi ).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi D trùng với N và ba điểm A,O,N thẳng hàng .

Khi đó A là điểm chính giữa cung lớn BC .Vậy khi A là điểm chính giữa cung lớn BC thì diện tích



BHC đạt giá trị lớn nhất.

4.2 .

Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF .

Xét trường hợp điểm K trùng với điểm A .Khi đó KI là dây cung của (O).Mà EF là đường trung trực

của KI suy ra EF đi qua O .

Xét trường hợp điểm K không trùng với A .Ta có

180 180CIF BIE EIF BIC    

Do có tứ giác ABIC nội tiếp nên suy ra

180BAC BIC

.Từ đó ta có

BAC EIF EAF EIF  

Mà

EKF EIF

(do I và K đối xứng nhau qua EF).Ta suy ra

EKF EAF

hay bốn điểm A,K,E,F cùng

thuộc một đường tròn .

Khi đó ta thu được hoặc tứ giác AKEF nội tiếp hoặc tứ giác AKFE nội tiếp .Không mất tính tổng quát

,ta giả sử AKFE nội tiếp .Ta suy ra

KAF KEF

(cùng chắn cung KF ) suy ra

KAB KEF

(1).

Mà

IEF KEF

(do I và K đối xứng nhau qua EF) (2) . Mặt khác

IEF BIK

(cùng phụ với góc

KIE

(3).Từ (1) ,(2) và (3) ta suy ra

KAB BIK

.Suy ra AKBI nội tiếp suy ra K nằm trên (O).Khi đó KI là

dây cung của (O).Mà EF là đường trung trực của KI nên suy ra E,O,F thẳng hàng .Vậy đường thẳng

EF luôn đi qua điểm O cố định

Câu 5 (1,0 điểm). Cho

a, b, c

là ba số thực dương thoả mãn

2 2 2

a b c 3  

Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

a 3ab b b 3bc c c 3ca a 3

6a 8ab 11b 6b 8bc 11c 6c 8ca 11a

     

  

     

Bài làm

Đặt vế trái của (1) là M .Ta có

2 2 2 2

2 2 2 2 2

a 3ab b a 3ab b

6a 8ab 11b (2a 3b) 2(a b) (2a 3b) 2a 3b

6a 8ab 11b

   

          



Tiếp tục ta chứng minh

22 2

a 3ab b 3a 2b (a b) 0

2a 3b 5

  

   



(luôn đúng ).

Tương tự ta có

2 2 2 2

b 3bc c 3b 2c c 3ca a 3c 2a

;

6b 8bc 11c 6c 8ca 11a

     



   

Cộng ba bất đẳng thức trên ta có

3b 2c 3a 2b 3c 2a

M a b c

5 5 5

  

     

Mà ta có

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(a b c) a b c 2(ab bc ca) a b c (a b ) (c a ) (b c )                

Hay

2 2 2 2

(a b c) 3(a b c ) 9 a b c 3         

.Vậy

M3

,dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

a b c 1  

LÝ THUYẾT TOÁN

Kinh doanh - tiếp thị

Quản trị, internet, marketing

Giáo dục đào tạo

Các tài liệu, đề thi liên quan đến các môn học của học sinh và bài giảng của giáo viên

Công nghệ thông tin

Tài liệu lĩnh vực công nghệ thông tin

Học tiếng Anh

Các tài liệu liên quan đến học tiếng Anh