DANH MỤC TÀI LIỆU
Nghiên cứu bài toán elliptic phi tuyến đường cong và phương pháp phân tử hữu hạn cho bài toán đó
Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong
MUÏC LUÏC
Trang
Phaàn Môû ñaàu
1
Chöông 1 Kyù hieäu vaø ñònh nghóa
4
Chöông 2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát lôøi giaûi
6
Chöông 3 Xaáp xæ baèng phaàn töû höõu haïn vôùi coù bieân ña giaùc
22
Chöông 4 Xaáp xæ baøi toaùn bieân cong bôûi baøi toaùn bieân ña giaùc
33
Chöông 5 Aùp duïng tính toaùn soá
47
Phaàn Keát luaän
59
Taøi lieäu tham khaûo 60
Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong
1
PHAÀN MÔÛ ÑAÀU
Trong luaän vaên naøy chuùng toâi söû duïng phöông phaùp phaàn töû höõu haïn ñeå giaûi baøi
toaùn elliptic phi tuyeán hai chieàu :
(0.1)
() ()
()( ) () () ()
,y,x,y,xGy,xusiny,xu,y,xg
y,x
y
u
,y,xM
y
y,x
x
u
,y,xM
x21
=+
lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp
(0.2)
()()
,1x0,0x,xu =ϕ
(0.3)
()
, yx,,y)(x,H
y
u
,y,xM
x
u
,y,xM 12211 Γ=ν
+ν
vôùi
() ()
{
}
,xy0,1x0IRy,x 2ϕ<<<<=
() ()
{
}
,xy,1x0,IRy,x 2
0ϕ==Γ
Γ1 = \ Γ0 ,
ϕ C[0,1] .
trong ñoù ν = (ν1, ν2) laø phaùp vectô ñôn vò treân Γ1 höôùng ra ngoaøi ñoái vôùi mieàn . M1, M2,
g, G, H laø caùc haøm soá cho tröôùc thoûa maõn moät soá ñieàu kieän seõ chæ ra sau. Haøm ϕ xaùc
ñònh treân thoûa ñieàu kieän :
(0.4) ϕ lieân tuïc treân [ 0 , 1 ] vaø C1-töøng khuùc treân (0 , 1) , ϕ (x) > 0 x (0 , 1) .
Tröôøng hôïp moät chieàu vôùi = (0 , 1), baøi toaùn töông töï(0.1) – (0.3) ñaõ ñöôïc khaûo
saùt bôûi Tucsnak [6], vaø N.T. Long, T.V. Laêng [5].
Trong [6], Tucsnak ñaõ xeùt baøi toaùn:
(0.5)
()() ( )()()()()
()
()
()
() ()
.01usin1G1'uM
,00u
,1x0,0xusin1'GxFx'uM
dx
d
1
10
=γ+
=
<<=γγ+λ+
Baøi toaùn (0.5) moâ taû söï uoán cuûa moät thanh ñaøn hoài phi tuyeán coù khoái löôïng rieâng
γ0 ñöôïc nhuùng trong moät chaát loûng coù khoái löôïng rieâng γ1, trong ñoù λ > 0 laø haèng soá,
F(x) vaø G(x) laø caùc haøm soá cho tröôùc coù moät yù nghóa cô hoïc naøo ñoù, u laø goùc giöõa tieáp
tuyeán cuûa thanh ôû traïng thaùi bò uoán taïi ñieåm coù hoaønh ñoä cong x vaø truïc thaúng ñöùng.
Trong [5], caùc taùc giaû ñaõ xeùt baøi toaùn:
Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong
2
(0.6)
()() ()()()
() ()() ()
.01usinb1'u,1M
,00u
,1x0,0xusinxu,xgx'u,xM
dx
d
=+
=
<<=+
Ñeå giaûi baøi toaùn (0.6), caùc taùc giaû trong [5] söû duïng phöông phaùp phaàn töû höõu haïn
caáp 1, moät chieàu.
Baøi toaùn (0.1)-(0.3) maø chuùng
toâi khaûo saùt ôû ñaây laø tröôøng hôïp hai
chieàu vôùi mieàn coù bieân ∂Ω goàm ba
caïnh thaúng OA, AB, OC vaø moät phaàn
bieân cong Γ0 = BC , trong ñoù O (0,0),
A(1,0), B(1,ϕ(1)), C(0,ϕ(0)) (xem hình
veõ).
O
C
B
Vì vaäy ñeå söû duïng phöông
phaùp phaàn töû höõu haïn vôùi caùc ña thöùc
xaáp xæ caáp 1 caàn xaáp xæ bieân cong Γ0
thaønh bieân coù “hình raêng cöa” (ñöôøng
gaáp khuùc).
A
Ngoaøi phaàn môû ñaàu, keát luaän, taøi lieäu tham khaûo, luaän vaên ñöôïc chia thaønh 5
chöông.
Chöông 1 giôùi thieäu moät soá kyù hieäu vaø caùc keát quaû chung chuaån bò ñeå khaûo saùt
trong caùc chöông sau.
Trong chöông 2 chuùng toâi chöùng minh söï toàn taïi duy nhaát lôøi giaûi cuûa baøi toaùn
(0.1)-(0.3). Keát quaû thu ñöôïc ôû chöông naøy ñaõ toång quaùt hoùa töông ñoái caùc keát quaû trong
[5],[6].
Trong chöông 3 chuùng toâi söû duïng phöông phaùp phaàn töû höõu haïn tam giaùc ñeå xaáp
xæ lôøi giaûi chính xaùc baøi toaùn (0.1)-(0.3) trong tröôøng hôïp xaùc ñònh bôûi haøm ϕ lieân tuïc
vaø baäc nhaát töøng khuùc treân [0 , 1], töùc laø bieân ∂Ω laø ña giaùc. Keát quaû thu ñöôïc trong phaàn
naøy laø ñaùnh giaù sai soá giöõa lôøi giaûi xaáp xæ vaø lôøi giaûi chính xaùc theo moät caáp ñoä phuï
thuoäc vaøo tính “trôn” cuûa lôøi giaûi chính xaùc. Cuõng trong phaàn naøy chuùng toâi cho keát quaû
cuï theå öùng vôùi tröôøng hôïp rieâng M1(x,y,z) = M2(x,y,z) = z. Keát quaû trong phaàn naøy toång
quaùt hoùa caùc keát quaû trong [5].
Chöông 4 aùp duïng keát quaû cuûa chöông 3 cho mieàn n, trong ñoù n vaø bieân
∂Ωn ñònh bôûi ba caïnh thaúng OA, AB, OC vaø ñöôøng gaáp khuùc xaùc ñònh bôûi haøm ϕn lieân tuïc
vaø baäc nhaát töøng khuùc treân [0 , 1], ϕn “xaáp xæ” ϕ treân [0 , 1]. Keát quaû cuûa chöông naøy laø
caùc ñaùnh giaù sai soá giöõa lôøi giaûi phaàn töû höõu haïn vaø lôøi giaûi chính xaùc trong tröôøng hôïp
n. Ngoaøi ra chuùng toâi cuõng ñaùnh giaù ñöôïc sai soá giöõa lôøi giaûi xaáp xæ baèng phaàn töû höõu
haïn treân n vaø lôøi giaûi chính xaùc treân .
Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong
3
Chöông 5 cho moät ví duï vôùi M1, M2, G, H, g, ϕ cuï theå. Trong chöông naøy chuùng
toâi ñaõ tính toaùn cuï theå cho ra caùc keát quaû soá.
Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong
4
C ÔNG 1 :
KYÙ HIEÄU VAØ ÑÒNH NGHÓA
1. CAÙC KYÙ HIEÄU VAØ ÑÒNH NGHÓA
Cho
+
ϕ IR]1,0[:
() ()
{
}
1x0,xy0:IRy,x 2<<ϕ<<=
∂Ω : bieân
() ()
{
}
1x 0 , xy : IRy,x 2
0ϕ==Γ
01 \Γ=Γ
Chuùng ta boû qua caùc ñònh nghóa cuûa caùc khoâng gian haøm thoâng duïng Cm ( ), Lp (),
Hm(), W1,p(). Caàn thieát ta coù theå tham khaûo trong [1], [2], [4]…
Ta kyù hieäu
p : soá thöïc , p > 1
p’ : lieân hôïp cuûa p, nghóa laø 1
'p
1
p
1=+
X
. : chuaån treân khoâng gian ñònh chuaån X
. : chuaån treân L2()
,q,m
. : nöûa chuaån treân Wm,p()
X
.,. : tích voâ höôùng treân khoâng gian Hilbert X
.,. : tích voâ höôùng treân L2() hoaëc caëp tích ñoái ngaãu cuûa moät phieám
haøm tuyeán tính lieân tuïc vôùi moät phaàn töû cuûa moät khoâng gian haøm
V L2()
mes() : ñoä ño Lebesgues cuûa taäp
mes(Γ) : ñoä ño Lebesgues cuûa taäp Γ
()
{
}
0v : W vV
0
p1, == Γ
2. MOÄT SOÁ CAÙC BOÅ ÑEÀ QUAN TROÏNG
Treân V ta ñònh nghóa nöûa chuaån
Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn elliptic phi tuyeán bieân cong
5
() ()
p
1
p
L
p
L
V
p
py
u
x
u
u
+
=
.
Boå ñeà 1.1: (Xem [1], [3], [4] )
(i) V laø khoâng gian Banach phaûn xaï, khaû ly (vôùi chuaån
()
p,1
W
. ).
(ii) Nöûa chuaån treân V (nhö ñònh nghóa trong (1.3)) laø moät chuaån treân V vaø töô ng
ñöông vôùi chuaån
()
p,1
W
. .
Boå ñeà 1.2: (Ñònh lyù veát) (Xem [1], [4])
Cho laø taäp môû bò chaën trong IRN, coù bieân Γ = ∂Ω “ñuû trôn”. Khi ñoù toàn taïi :
,
() (
Γγ pp,1
0LW:
)
γ0 tuyeán tính lieân tuïc sao cho
(
=γ Γ
1
0Cvvv .
γ0 ñöôïc goïi laø aùnh xaï veát.
(Ñoâi khi ngöôøi ta vaãn vieát vΓ thay cho γ0 v maëc duø v W1,p()).
Boå ñeà 1.3: (Boå ñeà Brouwer) (Xem [4] )
Cho Vm laø khoâng gian höõu haïn chieàu vôùi chuaån
m
V
. töông öùng vôùi tích voâ höôùng
m
V
.,. vaø cho
Pm : Vm → Vm lieân tuïc , thoûa :
Toàn taïi sao cho
0
~>ρ
()
0u , uP
~
u , Vu
mm V
m
V
mρ= .
Khi ñoù coù u0 Vm , ρ~
u
m
V
0 thoûa phöông trình
P
m (u0) = 0 .
Boå ñeà 1.4: (Xem [4])
Cho Q laø taäp môû bò chaën trong IRN vaø Gm , G Lq (Q), 1 < q < sao cho
()
CG q
L
m
, C laø haèng soá khoâng phuï thuoäc m vaø Gm → G haàu heát x Q.
Khi ñoù Gm → G yeáu trong Lq(Q).
thông tin tài liệu
Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hóa miền xác định của bài toán, bằng cách chia nó thành nhiều miền con (phần tử). Các phần tử này được liên kết với nhau tại các điểm nút chung. Trong phạm vi của mỗi phần tử Nghiệm được chọn là một hàm số nào đó được xác định thông qua các giá trị chưa biết tại các điểm nút của phần tử gọi là hàm xấp xỉ thoả mãn điều kiện cân bằng của phần tử. Tập tất cả các phần tử có chú ý đến điều kiện liên tục của sự biến dạng và chuyển vị tại các điểm nút liên kết giữa các phần tử. Kết quả đẫn đến một hệ phương trình đại số tuyến tính mà ẩn số chính là các giá trị của hàm xấp xỉ tại các điểm nút. Giải hệ phương trình này sẽ tìm được các giá trị của hàm xấp xỉ tại các điểm nút của mỗi phần tử, nhờ đó hàm xấp xỉ hoàn toàn được xác định trên mỗi một phần tử.
Mở rộng để xem thêm
tài liệu giúp tôi
Nếu bạn không tìm thấy tài liệu mình cần có thể gửi yêu cầu ở đây để chúng tôi tìm giúp bạn!
xem nhiều trong tuần
yêu cầu tài liệu
Giúp bạn tìm tài liệu chưa có

LÝ THUYẾT TOÁN


×